Page 227 - Fisica General Burbano

238 EL CAMPO GRAVITATORIO

que sustituidas en (12) conducen a:
h 2 d 2 F I 1 h 2 GM
- 2 2 G J - 3 = - 2
r dj H K r r r
2
2
2
y haciendo el cambio de variable u =1/r, se transforma en: d u/dj +u =GM/h , que con el
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nuevo cambio z =u –GM/h , se reduce a: d z/dj +z =0, cuya solución es: z =C cos (j – j ).
2
2
0
Deshaciendo los cambios de variable y eligiendo el eje polar de forma que j =0, obtene-
0
mos:
2
/
1 GM hGM (13)
r = h 2 + C cos j Þ r = Ch 2
1 + cos j
GM
que es la ecuación de una cónica (hipérbola, parábola o elipse) con un foco en el centro de M.
(Ver problema II-58 y 59).
La masa m, lanzada en el campo gravitatorio de M, describe pues una cónica de parámetro
2
2
2
p =b /a =h /GM y excentricidad e =c/a =Ch /GM, en las que las constantes dependen de la
posición y velocidad ee m en el instante de iniciar su movimiento bajo la acción exclusiva de M.
Si en (13) M es la masa del Sol, dicha ecuación describe el movimiento de, por ejemplo, la
Tierra, y si es M la masa de la Tierra el movimiento descrito puede ser el de un satélite artificial.
XI – 13. Tipos de trayectoria en función de las condiciones iniciales y de la energía
Para poner un satélite en órbita se le hace ascender mediante cohetes hasta una distancia r 0
del Centro de la Tierra, llegando a ese punto con velocidad v paralela a la superficie terrestre, es
0
decir, con componente únicamente transversal. En ese punto inicia el movimiento bajo la acción
exclusiva de la atracción terrestre (despreciamos la influencia de otros cuerpos).
Determinaremos el tipo de trayectoria que seguirá a partir de B (Fig. XI-18), en función de r y
0
v , a través de la excentricidad, que caracteriza el tipo de cónica, y de la energía del satélite.
0
Si tomamos el eje polar pasando por B, en la ecuación (13) se verifica cos j =cos 0 =1, con
lo que:
1 GM
C = -
r 0 h 2
. 2 .
Por otra parte, en B es v = r j 0 y h = r j 0 = r v , que es constante por serlo J. Con esto,
0 0
0
0
0
la excentricidad resulta:
Ch 2 1 h F 2 I 1 rv F 2 2 I rv 2
J
e = = G - GM = G 0 0 - GM J Þ e= 00 -1 (14)
GM GM H r 0 K GM H r 0 K GM
La energía total del satélite es constante, por ser la fuerza gravitatoria conservativa, e igual a su MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
valor en B:
GMm mv 2 m 2
E = U 0 + T 0 = - r 0 + 2 0 = ( rv 2 - GM) Þ
00
r 2
0
GMm rv F 2 I GMm
00
-2
E = 2 r H G GM K J Û E= r 2 ( e -1) (15)
Fig. XI-18.– En B se desprenden los 0 0
cohetes y se inicia la trayectoria libre.
a) ÓRBITAS CIRCULARES. Para que la cónica sea una circunferencia debe verificarse: e =0, con
2
lo que, de (14), se tiene: rv GM/ = 1 . La velocidad característica de una órbita circular es:
00
GM
v = r 0
c
y la energía total, de (15), E =– GMm/2r , que resulta negativa como corresponde a trayectorias li-
0
gadas a M.
2
b) ÓRBITAS ELÍPTICAS. Para una elipse se verifica 0 <e <1, con lo que 1 <rv GM/ < 2 , el
00
paréntesis de (15), y por tanto la energía total, es negativo. La velocidad inicial del satélite debe
estar en el intervalo: GM r/ 0 < v < 2GM r / 0 , es decir v < v < 2 v c , siendo la posición inicial
e
e
c
el punto de la trayectoria más cercano a M.
c) TRAYECTORIAS HIPERBÓLICAS. En términos de excentricidad, hipérbola significa e >1, es decir,
2
en nuestro caso rv GM/ > 2 , resultando una energía total positiva y distinta de cero. En tales tra-
00
yectorias el cuerpo puede llegar teóricamente al infinito con una cierta velocidad, ya que en él la
energía sería tan solo cinética y, como hemos visto, no nula. El cuerpo m tiene una trayectoria
abierta no ligada a M.