Page 229 - Fisica General Burbano

240 EL CAMPO GRAVITATORIO

GMr r r r
a = 0 2 Þ a= 0 2 = 0 Þ a= 0
2GM - rv 2 rv 2 -( e +1) 1 - e
00
00
-
GM
por tanto:
GMm GMm GMm
E = ( e - 1) =- 1 ( e -) Þ E =- (17)
2r 0 2r 0 2a
o bien: E =–GMm/(r +r ).
p
a
La expresión (17) indica que para un satélite determinado la energía total depende exclusiva-
mente del semieje mayor a de su órbita.
PROBLEMAS: 52 al 57.

XI – 15. Teorema de Gauss para el campo gravitatorio. Ecuación de Poisson
El vector intensidad de campo gravitatorio producido por una masa puntual m en un punto
caracterizado respecto de ella por el vector de posición r es, según (2): g =– Gm r/r . Se trata
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pues, de un campo central y newtoniano (su módulo varía con la distancia como r ).
–2
La expresión del teorema de Gauss (párrafo VII-17) para estos campos es:
z
f = A E ?? d A =4 pC

en la que C es la constante de proporcionalidad en la expresión de la intensidad de campo.
En nuestro caso es: C =– Gm, con lo que para el campo creado por una masa puntual m po-
demos poner:
f = z A g ?? d A = -4 pGm

Y si el campo es producido por una distribución discreta de masas (Fig. XI-21) concluimos
que:
«El flujo de campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual al producto, con
signo negativo, de 4p G por la suma de todas las masas encerradas en su interior, no in-
fluyendo para nada en él las masas que existan en el exterior».
Es decir:
z
f = g ?? d A = -4 pG åm i = -4 pGM
A

donde M representará la masa total interior a la superficie cerrada A.
Si la distribución de masa interior a la superficie A fuese una distribución volumétrica definida MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
por una densidad de masa r(x y z), la masa total sería:
z

M = V r d V

donde V es el volumen de la distribución. El teorema de Gauss se escribirá:
z g ?? d A = 4p G r d V
z
A
V
donde A es una superficie arbitraria que rodea a la distribución, luego en particular podemos to-
mar la propia superficie de la distribución. La integral del primer miembro de la fórmula anterior la
podemos transformar, en virtud del Teorema de Ostrogradsky-Gauss en una integral de volumen:
zz gd V
g ?? d
A = div
z divgdV =-4p G z r dV Þ z ( divg +4p Gr) dV =0
luego se verifica que: A V

V
V
V
para que esta relación se verifique para todo dV es preciso que:
divg =-4prG
Fig. XI-21.– Teorema de Gauss para
una distribución discreta de masas. que es la expresión diferencial (local) del Teorema de Gauss.