Page 233 - Fisica General Burbano

244 EL CAMPO GRAVITATORIO

10R y se libera una de ellas con velocidad inicial nula. ¿Con qué veloci- 50. Una nave espacial de masa m =5 ´10 kg, con los motores
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dad se moverá cuando llegue a chocar con la otra? Supón conocida la apagados, describe una órbita circular de radio r =2,55 ´10 m en tor-
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constante de gravitación universal G. no a la Tierra. Calcular el trabajo que tendrían que realizar, como míni-
41. Dos esferas homogéneas de 10 kg están colocadas con sus cen- mo, los motores de la nave para escapar de la atracción gravitatoria de
tros fijos en los puntos (0, 3) y (0, – 3) de un sistema de coordenadas. la Tierra. DATOS: G =6,67 ´10 – 11 N . m kg , M =5,98 ´10 24 kg.
2
–2
0
Una tercera masa de 10 g se abandona en reposo en el punto (4, 0), 51. Una nave espacial describe órbitas circulares, en torno a la Tie-
¿con qué velocidad pasará esta última por el origen de coordenadas? rra, de radio 20 000 km. ¿En cuánto ha de incrementar su velocidad
42. Tres partículas iguales de masa m están fijas en tres vértices de un para conseguir la velocidad de escape? R =6 370 km.
0
cuadrado de lado l, formando un sistema aislado. Conocemos el valor de 52. Deducir la tercera ley de Kepler para órbitas elípticas.
la constante de gravitación universal G. 1) Determinar el potencial gravi- 53. Expresar la excentricidad de una órbita elíptica en función de
tatorio en los puntos A y B, vértice vacante y centro del cuadrado, res- las distancias del apogeo y perigeo.
pectivamente. 2) Si situamos una cuarta partícula en el punto A y la sol- 54. Para un planeta en órbita elíptica en torno a una estrella de
tamos con velocidad inicial nula, se moverá hacia B. ¿Por qué? Determi- masa M, obtener la expresión de la excentricidad de la órbita en función
na su velocidad al pasar por B. de la energía total y del momento angular orbital del planeta.
55. Un satélite artificial es colocado por un cohete a una altura de
1 000 km sobre la Tierra y con una velocidad transversal de 9 000 m/s. 1)
Comprobar que la trayectoria posterior del satélite será elíptica. 2) Calcu-
lar su máximo alejamiento de la Tierra. 3) Calcular el período orbital.
Radio de la Tierra R =6 370 km.
0
56. Una nave espacial de 10 000 kg describe una trayectoria elípti-
ca en torno a la Tierra, con unas distancias mínimas y máxima, respecto
del centro de ésta, de 10 000 km y 20 000 km, respectivamente. Cuando
se encuentra en el apogeo de su trayectoria expulsa hacia delante
500 kg de gases, con lo que reduce su velocidad a la justa para tener un
nuevo perigeo de 9 000 km. Calcular la velocidad de salida de los gases
respecto de la Tierra en el frenado, suponiendo que la emisión es ins-
tantánea. Radio de la Tierra R =6 379 km, intensidad de la gravedad
0
2
Problema XI-42. Problema XI-46. en su superficie 9,8 m/s .
57. Las distancias más próximas y más alejada de la Tierra al Sol
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43. Dejamos caer un cuerpo desde una altura H =20 000 m sobre en su órbita son de 1,47 ´10 11 m y de 1,52 ´10 m respectivamente.
30
– 11
2
un astro igual a la Tierra (R =6 379 km y g =9,8 m/s ), de tal forma Considerando la masa del Sol como M =2 ´10 kg y G =6,67 ´10
S
2
– 2
0
0
que alrededor de éste existe vacío (para anular en el problema la resis- N . m kg , calcular las velocidades mínima y máxima del movimiento
tencia del aire). Calcular la velocidad alcanzada por el cuerpo cuando orbital de la Tierra.
llegue a la superficie del astro. 58. Calcular la intensidad del campo gravitatorio debido a un volu-
44. Desde la superficie de la Tierra se lanza un cuerpo verticalmen- men cilíndrico muy largo, homogéneo, de densidad r y radio R en pun-
te hacia arriba. 1) Si se le comunica una velocidad de 8 km/s, calcular tos situados: 1) r >R. 2) r <R.
la altura que alcanzaría si no existiese la atmósfera. 2) Con la misma 59. Se tiene un cascarón esférico hueco, de radios interior R 1 y exte-
suposición, calcular qué velocidad habría que comunicarle para que rior R , y densidad uniforme r. Para las zonas r £R , R £r £R y r ³R ,
2
1
1
2
2
=6 ´10 24 kg, R = siendo r la distancia al centro del cascarón, calcular: 1) El vector intensi-
alcanzase una altura igual al radio de la Tierra. (M 0 0 dad de campo gravitatorio. 2) El potencial gravitatorio.
6
6,37 ´10 m)
45. Una sonda de exploración, de masa m =500 kg, describe una 60. Supuesta la Tierra esférica de radio R y homogénea (densidad
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órbita circular en torno a Marte. Sabiendo que el radio de dicha órbita constante), calcular la profundidad a que debe introducirse un cuerpo
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es R =3,50 ´10 m, que la masa de Marte es M =6,42 . 10 23 kg y que para que su peso sea el mismo que a una altura h sobre su superficie.
2
–2
G =6,67 . 10 – 11 N m kg , calcula: 1) La velocidad orbital de la sonda 61. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese un conducto recto de MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
y su momento angular respecto al centro de Marte. 2) Las energías polo a polo, al dejar caer por él un cuerpo desde uno de los polos ad-
cinética, potencial y mecánica de la sonda. quiriría un MAS. ¿Por qué? Calcular el período de este movimiento.
46. En la figura representamos lo que los astrónomos llaman un 62. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese en conducto recto
Sistema Estelar Binario, tratándose en nuestro caso de dos estrellas idén- como se indica en la figura, al dejar caer por él un cuerpo de masa m
ticas en órbita circular común, que giran persiguiéndose entre sí. Las leyes adquiriría un movimiento vibratorio armónico. ¿Por qué? Calcular el
de la mecánica exigen que ocupen siempre los extremos del diámetro. La período de ese movimiento. Suponer que no existen rozamientos entre
masa de cada estrella es M, la distancia entre ellas d y la constante univer- el cuerpo y las paredes del conducto.
sal de gravitación es G. 1) Calcular el período de rotación 2) Suponien-
do que las estrellas están inmóviles, calcular la velocidad de cada estrella
en el momento en que la distancia entre ambas sea d/2.
47. Si suponemos que entre la Tierra y la Luna existe el vacío y ha-
ciendo abstracción del movimiento de ellas, determinar la velocidad mí-
nima de lanzamiento de un proyectil desde la superficie de la Tierra
para que llegue a la Luna; calcular también la velocidad con que llega
dicho proyectil a la superficie lunar. (DATOS: d =60,3 R ; M =81 M ;
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TL
L
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R =6 370 km; R =4R ; g =9,8 m/s ).
2
L
0
0
0
48. Un cohete impulsor coloca un satélite artificial a una distancia
de 20 000 km del centro de la Tierra y con una velocidad de 5 000 m/s
que forma 60° con la vertical. Calcular el apogeo y el perigeo de la órbi-
ta que seguirá el satélite. M =6 ´10 24 kg.
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49. 1) Calcular la velocidad v con la que llegaría a la superficie de
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la Tierra, en ausencia de rozamiento en la atmósfera y bajo el único
efecto del campo gravitatorio terrestre, un cuerpo que cae, partiendo del Problema XI-62.
reposo, desde un punto infinitamente alejado de la Tierra. 2) Describir
los movimientos que efectuarían cuerpos que se lanzasen verticalmente
hacia el exterior, desde la superficie de la Tierra y en las mismas condi- 63. Calcular la energía potencial que posee una masa M = M en
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ciones que en el apartado anterior, con velocidades 2v y v /2, respecti- el interior de la Tierra en un punto situado a una profundidad h, supues-
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vamente. DATOS: g y R . ta ésta homogénea y esférica de radio R y densidad r.
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