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232 EL CAMPO GRAVITATORIO

XI – 6. Energía potencial en el campo gravitatorio creado por una partícula.
Generalización a cualquier distribución
Hemos visto que el campo gravitatorio producido por una partícula de masa m es central y su
módulo varía únicamente con la distancia (tiene simetría esférica), se trata por tanto de un campo
conservativo. Por ello, a una partícula de masa m¢situada en el campo de m, podemos asignarle
una energía potencial, cuya diferencia entre dos puntos del campo calculamos de la forma siguiente:
r z
zz 2 mm¢ 2 mm¢
2
U - U 2 = F ? dr = 1 - G r 3 r ? dr Û U - U = 1 G 3 r ? dr
1
2
1
1
pero al ser este valor de la integral independiente de la trayectoria a seguir, y teniendo en cuenta la
Fig. XI-8, nos queda:
r z
r z
2¢ mm¢ 2 mm¢
U - U = G 3 r ? d +r G 3 r ? dr
1
2
1 2¢
Fig. XI-8.– En la trayectoria de 1 a 2¢
r y dr tienen la misma dirección. En la segunda integral es nula, ya que la F y dr son perpendiculares, y en la primera podemos quitar
la 2¢a 2, la fuerza central y dr son la notación vectorial por tener r y dr la misma dirección; luego:
r z
perpendiculares.
2¢ mm¢ 1 L O 2¢
M P
U - U = G 2 dr = Gmm¢ - r N Q
1
2
1 1
al ser en módulo r =r¢, obtenemos:
2
2
1 L 1O
U - U = Gmm¢ M r 1 N - r 2Q P
2
1
expresión que nos mide: el trabajo realizado para trasladar la partícula de masa m¢del punto 1 al
punto 2 en presencia de m.
Para asignarle un valor único a la energía potencial de m¢en cada punto del campo, elegimos
un punto arbitrario en el que consideramos la energía potencial nula. El convenio que se utiliza
normalmente es el de tomar U =0 en r =¥, con lo que la energía potencial de interacción gravita-
toria de las masas m y m¢a distancia r, es:
U =- G mm¢
2
r
expresión que nos mide el trabajo que hay que realizar para trasladar una partícula de masa m¢
desde el infinito hasta el punto, en presencia de m. El signo menos nos indica que en un punto del
espacio la energía potencial es menor que en el infinito.
Teniendo en cuenta que las contribuciones de energía potencial se suman escalarmente po-
Fig. XI-9.– Partícula m¢sometida a la demos decir que: «La energía potencial» de una masa puntual m¢colocada en un punto del cam- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
acción de una distribución discreta de po gravitatorio debido a encontrarse en presencia de un sistema discreto de masas puntuales es
masas. (Fig. XI-9)
m
UP() =- Gm¢ å i (7)
r i
La energía potencial de una masa puntual m¢colocada en un punto del campo gravitatorio de-
bida a una distribución volumétrica continua (Fig. XI-10) la podemos escribir como una generaliza-
ción de la expresión anterior. Tendríamos que calcularla sumando (integral) las contribuciones de
energía potencial de cada uno de los elementos de volumen que compongan la distribución, cuya
masa es: dm =rdv, (r: la densidad volumétrica que existe en el punto ocupado por dv) y la con-
tribución a la energía potencial de m¢en P debida a estos elementos sería:

r r z () r
UP() =- Gm¢ dv (8)
V

XI – 7. Energía potencial en el campo gravitatorio terrestre
Considerando la Tierra como una esfera homogénea, podemos utilizar los resultados obteni-
Fig. XI-10.– Distribución volumétrica dos en los párrafos anteriores, y suponiendo su masa M concentrada en su centro, y por tanto, la
continua. 0
intensidad de la gravedad en un punto a una distancia r de dicho centro y fuera de ella, es en mó-
dulo:
M
g = G 0 (9)
r 2