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230 EL CAMPO GRAVITATORIO
DATOS TERRESTRES, SOLARES Y LUNARES EN EL SI (continuación)
TIERRA SOL LUNA
Aceleración de la gravedad 9,806 65 274 1,623
Velocidad orbital promedio 29 770
Velocidad angular 7,29 ´ 10 5
Distancia Tierra-Luna 3,84 ´ 10 5
XI 5. Leyes de Kepler
Johannes Kepler (1571-1630) recopilando resultados obtenidos de la observación da las si-
guientes leyes empíricas:
1ª. Los planetas describen órbitas planas y elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.
2ª. Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Si las áreas BSC, CSD, DSE, etc., son iguales, (Fig. XI-6) los tiempos para pasar el centro del
Fig. XI-6. Si las áreas BSC, CSD, planeta de B a C, de C a D, de D a E, etc., también son iguales.
DSE, etc, son iguales, los tiempos El movimiento del centro de masa de los planetas alrededor del Sol tiene velocidad areolar
para pasar el centro del planeta, de B constante, por estar producido por una fuerza central cuya dirección pasa, en todo momento, por
a C, de C a D, de D a E etc, también el centro de masa del Sol. La velocidad tangencial y la angular no son constantes, ya que los arcos
son iguales. El punto P en que el pla- y los ángulos descritos en el mismo tiempo, no son iguales.
neta está más próximo al Sol lo lla-
mamos Perihelio, y el punto A el más 3ª. Los cuadrados de los períodos son directamente proporcionales a los cubos de los se-
alejado Afelio. miejes mayores.
r 3 r¢ 3
(
T 2 = T¢ 2 =... =constante = fM)
Esta constante es independiente de la masa del planeta atraído (cualquiera que sea su masa se
cumple la ecuación anterior) pudiendo depender únicamente de la masa del Sol (M).
El año solar en los planetas más alejados del Sol que la Tierra (Marte, Júpiter, etc.) es más lar-
go que nuestro año solar (3ª ley); en los más cercanos (Mercurio y Venus) ocurre lo contrario.
Tanto la ley de gravitación universal como las leyes de Kepler fueron enunciadas como postu-
lados; sin embargo las leyes de Kepler son deducibles a partir de los estudios que hemos realizados
de mecánica y la ley de gravitación, o a la inversa. En efecto:
Consideremos dos partículas (o dos cuerpos esféricos, o dos estrellas formando un sistema,
que en Astronomía denominamos «Sistema Estelar Binario») que se mueven en órbitas circulares
por la acción gravitacional mutua (Fig. XI-7) y supongamos que no actúa sobre ellas ninguna fuer-
za externa, entonces el CM no posee aceleración alguna, encontrándose en la línea que las une; to-
mando al CM como origen de referencia y llamando R y r a los radios de las órbitas de las partícu-
las mayor (M) y menor (m) respectivamente, se tendrá que verificar: MR =mr. Para que ambas MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
partículas se muevan en órbitas circulares tendrá que verificarse que la fuerza gravitacional que
actúa sobre cada una de ellas les suministre la aceleración centrípeta necesaria para ello; con esto
las fuerzas centrípetas que experimentan ambas partículas son iguales en módulo por ser las de in-
teracción gravitatoria, es decir:
Fig. XI-7. Si dos partículas (o cuer- M w 2 R = mw¢ 2 r
pos esféricos) se mueven en órbitas MR = mr Þ w= w¢
circulares bajo la influencia única de
la atracción gravitacional mutua, en- con lo que «ambas partículas se mueven con la misma velocidad angular alrededor del centro de
tonces ambas tienen la misma veloci- masa». Siendo la fuerza gravitacional de valor: GMm/(R +r) , la condición para que se muevan
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dad angular. en órbitas circulares es:
Mm 2
F = ma Þ G = mw r
( R + r) 2
Aplicando esta última ecuación al sistema solar, teniendo en cuenta que la fuerza entre los pla-
netas la podemos despreciar en primera aproximación y que si M o m (M: masa del Sol, y m: la
masa de un planeta cualquiera) R será muchísimo menor que r, pudiéndose despreciar, entonces:
4p 2 3
GM = 2 r (4)
T
de la que se deduce la 3ª ley de Kepler: r 3 = GM
T 2 4p 2
2
en esta expresión no aparece la masa del planeta, siendo GM/4p una constante que, tomando el
mismo valor para todos los planetas, depende de la masa del Sol.
