Page 73 - Fisica General Burbano

MOVIMIENTOS RELATIVOS 81

d ¢ I
d ¢ F dx¢ dy dz I F d ¢ d ¢ z¢ J
k
=G
¢ J +G
r
i
j
dt H dt i ¢ + dt j ¢ + dt K H x¢ dt + y¢ dt + dt K (23)
k
al primer paréntesis lo llamamos VELOCIDAD RELATIVA (v ) de la partícula referida a O¢como origen
r
(velocidad medida por un observador colocado en O¢):
. . .
k
v = x¢¢ y¢¢ z¢¢ (24)
j +
i +
r
Para conocer el valor del segundo paréntesis de la igualdad (23) necesitaremos calcular el valor
de las derivadas respecto del tiempo de los vectores unitarios. Resolvemos esta cuestión como un
caso particular del movimiento del sólido rígido; considerando al sistema formado por los tres vec-
tores unitarios como tal: de la Fig. IV-21 obtenemos que el vector unitario i¢respecto al sistema
que consideramos fijo es:
i¢=r – r Fig. IV-21.– Los vectores unitarios ¢ ,
®
i
I
0
® jy ® , son variables con el tiempo.
¢ k
en la que r es el vector de posición del extremo del vector i¢¢referido a O (fijo). ¢
I
Derivando con respecto al tiempo:
i
d ¢ =v -v
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dt I 0
pero por tratarse de un movimiento de un sistema rígido al punto I le podemos aplicar la fórmula
(2) del párrafo IX-1 y nos dará:
v =v +v ´ O¢I =v +v ´i¢
0
I
0
que sustituida en la anterior:
i
d ¢ i
dt =v ´ ¢
haciendo lo mismo con j¢y k¢obtenemos:
j
k
d ¢ j d ¢ k
dt =v ´ ¢ dt =v ´ ¢
que constituyen el grupo de las llamadas FÓRMULAS DE Denis Simeón POISSON (1781-1840), que
sustituidas en el segundo paréntesis de la (23) nos queda:
di ¢ dj ¢ dk ¢
x ¢ + ¢ + ¢ =v ´ ¢¢ +v ´ ¢¢ +v ´ ¢¢ =v ´ ¢ (25)
x i
r
z k
y j
y
z
dt dt dt
finalmente; teniendo en cuenta que:
. . . .
r = OO¢ = x 0 i +y 0 j +z 0 k Þ v 0 r = 0 =x 0 i +y 0 j + z 0 k (26)
0
obtenemos para valor de la VELOCIDAD ABSOLUTA, sustituyendo (22), (23), (24), (25) y (26) en (21):
. . . v +b r ´¢ g
v = v + x( 0 i +y 0 j +z 0 k + v r´ ¢=) r v 0 +v (27)
r
al segundo sumando de esta igualdad se le llama VELOCIDAD DE ARRASTRE (v ) justificándose esta
a
denominación ya que es la velocidad que tendría el punto P si estuviese unido a O¢formando un
sistema rígido; si P y O¢pertenecieran a un sólido rígido diríamos que marcha «arrastrado» por el
cuerpo; queda pues como igualdad fundamental del movimiento relativo:
v = v + v a
r
Obtenemos la aceleración con que se mueve la partícula con respecto al sistema de ejes fijos,
derivando (27) con relación al tiempo:
. . . . .
a = v = v r v + 0 +v r ´ ¢ +v ´ r¢ (28)
derivando (24) respecto al tiempo tendremos:
dv F dx¢ dy¢ dz¢ I F dx di ¢ dy dj ¢ dz dk ¢ I
2
2
2
k¢ +G
¢
¢
¢
J
r
dt H G dt 2 i¢ + dt 2 j¢ + dt K H dt dt + dt dt + dt dt K J
=
2
y llamando al primer paréntesis ACELERACIÓN RELATIVA a del punto P respecto a O¢(aceleración
r
medida por el observador colocado en O¢), y teniendo en cuenta las fórmulas de Poisson en el se-
gundo, nos queda: