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84 CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS
sistema de referencia OXYZ, siendo O el centro de la circunferencia, P o r =2R, determinar: 1) r =r(t), v =v(t)y a =a(t). 2) Los vectores
el punto de partida sobre el eje OX, y el eje OZ perpendicular a la cir- aceleración tangencial y normal para t =5 s.
cunferencia trayectoria; determinar el vector velocidad (v) y el vector 29. Una partícula se mueve en trayectoria plana, siendo los com-
eceleración (a), en el instante indicado en 1. ponentes coordenadas del radio vector que define la posición de la
partícula, en cualquier instante y escritas en el SI: x =4 sen 2t,
y =2 cos 2t. Determinar: 1) Ecuación analítica de su trayectoria en la
forma f(x, y) =0. 2) El sentido del movimiento de la partícula sobre su
trayectoria. 3) Ecuación de la hodógrafa. 4) Valores de los vectores
aceleración total, tangencial y normal para t =9p/8 s.
30. Una partícula describe una curva plana que escrita en el SI tie-
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ne por ecuación y =4x con una componente de la aceleración según
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el eje OX que es constante e igual a 8 m/s . Para t =4 s se encuentra en
el origen de coordenadas. Calcular: 1) Las ecuaciones vectoriales hora-
rias del movimiento. 2) Los vectores aceleración tangencial y normal
para t =2 s.
31. Las componentes coordenadas del vector que nos define la tra-
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yectoria de una partícula son en el SI: x =3t 5, y =6t 1,
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z =4t 6. Calcular los módulos de la aceleración tangencial y normal
Problema IV-16. Problema IV-28. para t =1 s.
19. La aceleración tangencial de un punto móvil queda determina- 32. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene
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da en el sistema CGS por la función: a =6 2t. Para t =0, v =0. dado por: v =(3t 2)i +(6t 5)j +(4t 1)k (SI) y el vector que nos
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t
Calcular: 1) La expresión general del módulo de la velocidad. 2) En define la posición inicial es: r =3i 2j +k m, calcular: 1) La expresión
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qué instantes la velocidad es nula. 3) ¿Qué aceleración tangencial tiene del radio vector en cualquier instante. 2) Ecuación del vector acelera-
el móvil en tales instantes? ción. 3) Los vectores aceleración tangencial y normal para t =1 s.
20. La ecuación que nos define la trayectoria de una partícula 33. El vector velocidad de una partícula referido a un punto O (ve-
en un plano OXY y referida a O como origen, viene dada por: r =5ti locidad definida por un observador en O) viene dado en el SI por:
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+ (10 3 t - 5t 2 ) j (SI), queremos determinar: 1) La ecuación de la v =i +4tj 3t k. Determinar para t =1 s: 1) El vector unitario en la
trayectoria escrita en forma explícita y =f(x) y su representación gráfi- dirección de la tangente a la trayectoria. 2) El vector aceleración tan-
ca. 2) Expresiones del vector velocidad y del vector aceleración. 3) Mó- gencial. 3) El vector aceleración normal. 4) El vector unitario en la di-
dulos de la aceleración tangencial y normal para t =1 s. rección de la normal a la trayectoria. 5) El valor del radio de curvatura.
21. Una partícula se mueve en trayectoria plana, siendo las com- 34. El vector aceleración de una partícula referido a un punto O
ponentes coordenadas del radio vector que define la posición de la (vector aceleración definido por un observador en O) viene dado en el
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partícula en cualquier instante: x =2t 3, y =t +1 expresadas x e y SI por: a =2 (18t +1)i +9j. En el instante t =0 la velocidad es nula
en m y t en s. Calcular: 1) Vectores velocidad y aceleración. 2) El ins- y el vector de posición es: r =4j +6k m. Se trata de determinar para
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tante en que v y a son paralelos. 3) El vector unitario en la dirección de t =1 s. 1) Las componentes intrínsecas del vector aceleración. 2) El va-
la tangente a la trayectoria en cualquier instante. 4) Los vectores acele- lor del radio de curvatura. 3) La posición del centro de curvatura.
ración tangencial y normal para t =1 s. 5) El vector unitario en la dire- 35. Una partícula recorre la hélice que tiene por ecuación escrita
ción normal a la trayectoria, el valor del radio de curvatura y el vector en el SI: r(t) =3 cos 2t i 3 sen 2t j + 13 t k. Determinar: 1) Los vec-
de posición del centro de curvatura para t =1 s. tores aceleración tangencial y normal en t =p s. 2) Espacio recorrido por
22. Un movimiento de trayectoria plana es tal que: x =1 +sen pt, la partícula durante ese tiempo.
y =t cos pt (SI). Calcular: 1) Vectores velocidad y aceleración. 2) Las 36. En la Fig. el carro A y el brazo B se mueven con velocidades v A
componentes intrínsecas del vector aceleración para t =2 s. 3) Valor y v , y aceleraciones a el primero, y a respecto de A el segundo. Por su
B
A
B
del radio de curvatura en tal instante. 4) Coordenadas del centro de parte la polea P sube el bloque C con velocidad v y aceleración a res-
C
C
curvatura en ese mismo instante. pecto de ella. En un instante determinado las coordenadas de C son x ,
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23. La ecuación que define la trayectoria plana de un punto móvil y , z , respecto del origen O. Determinar, en ese instante, la posición del MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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es: y =x 9 (SI), y la abscisa en función del tiempo es de la forma: centro de curvatura de la trayectoria de C. DATOS: v =0,4 m/s,
A
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x =2t 3 (SI). Calcular: 1) Expresiones del vector de posición, del vec- v = 0,4 m/s, v = 0,2 m/s, a = 0,2 m/s , a = 0,2 m/s ,
C
B
A
B
2
tor velocidad y del vector aceleración. 2) Las aceleraciones tangencial y a =0,1 m/s , x =1 m, y =4 m, z =5 m.
C
0
0
0
normal en el instante t =2,00 s. 3) Los instantes en los que el vector de
posición y el vector velocidad son perpendiculares.
24. Supongamos un movimiento circular de radio 27 cm y cuyo es-
pacio (l) (distancia sobre la propia curva a un origen tomado en ella),
2
queda determinado por la ecuación: l =3 +t +2t , en la que el espacio
está medido en cm y el tiempo en s; se trata de calcular el vector acele-
ración en el instante t =2 s.
25. Una partícula se mueve en trayectoria circular de radio 1 m. La
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partícula, inicialmente en reposo es acelerada con a(t) =12t 6t 4
(SI). Determinar: 1) La posición angular de la partícula en función del
tiempo. 2) Los módulos de las componentes intrísecas del vector acele-
ración. 3) Espacio recorrido sobre la trayectoria a los 2,30 s de iniciado
el movimiento.
26. El ángulo de rotación de un volante que gira alrededor de su Problema IV-36.
2
eje fijo viene dado por la ley: j =j +kt , donde j y k son constantes. Problema IV-37.
0
0
En un instante t la velocidad lineal de un punto de su periferia es v. Cal- 37. Desde un punto, distante d metros de un tramo recto de vía, se
cular el módulo del vector aceleración total de ese punto en tal instante. sigue con un catalejo el paso de un tren que marcha a velocidad v,
27. Una partícula se mueve en trayectoria plana y circular de 1 m como se indica en la Fig. Expresar la velocidad del tren en función de d,
de radio, el valor de su aceleración tangencial en módulo es siempre q y de la velocidad angular de giro del catalejo.
igual a su velocidad. En el instante inicial su velocidad angular es de p 38. Las ecuaciones horarias del movimiento de una partícula en
rad/s. Determinar, al cabo de 1 s: 1) La aceleración angular de la partí- trayectoria plana, y en coordenadas polares entre t =0 y t =80 s son:
cula. 2) La aceleración tangencial. 3) La velocidad angular. r =25t (80 t)y q = 05, - 3 ´ 10 - 4 t , escritas en el SI. Determinar a
28. La figura nos representa una partícula que gira en trayectoria los 30 s de iniciado el movimiento: 1) El vector velocidad y el vector
circular de radio R =1 m, de modo que el radio vector que parte de O aceleración y su módulo. 2) En qué momento y para qué valor de q la
.
tiene una velocidad angular constante: q =2p rad/s. Si para t =0, velocidad del proyectil es perpendicular al vector de posición.
