Page 424 - Fisica General Burbano

EL VECTOR DESPLAZAMIENTO 437
z D ? d A = div D dv
z

A T v
comparando las dos últimas ecuaciones obtenemos:

div D = r (PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL)

ecuación que es una, del conjunto de cuatro, conocido como ECUACIONES DE MAXWELL, y que ire-
mos enumerando.
La ley de Gauss es importantísima para el cálculo de campos eléctricos en algunos casos parti-
culares, en los que intervienen materiales dieléctricos, como el que vamos a ver a continuación.
Considerando un ion esférico de carga Q sumergido en un líquido dieléctrico lineal, homogé-
neo e isótropo. Las moléculas del líquido se orientarán en la forma indicada en la (Fig. XIX-45) Fig. XIX-45.– Ión esférico de carga
pues el campo que crea el ion tiene simetría radial. Se trata de calcular el valor del campo a una positiva sumergido en un líquido
distancia r del centro del ión conocida la permitividad dieléctrica del medio líquido, que llamamos dieléctrico.
e. Si tratamos de calcular el campo, aplicando el teorema de Gauss al vector E y a una superficie
esférica de radio r, no conseguimos nada pues desconocemos el valor de la carga ligada encerrada
en ella; pero sí podemos aplicarlo al vector D puesto que la integral de superficie de D es igual a
la carga libre encerrada, que en este caso es la del ión:
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
z A D ? d A =4p r D = Q Þ D = 4p Q r 3 r Ù D =e E Þ E = 4pe r Q 3 r
1
2

XIX – 26. Condensadores con más de un dieléctrico

Supongamos un condensador plano que tiene entre sus armaduras n dieléctricos LHI en forma
de paralelepípedos rectángulos de espesores e , e , ... e y de permitividades e , e , ..., e (Fig. XIX-
1
n
2
n
2
1
46). Lo cargamos conectando sus armaduras a una fuente de alimentación y, en condiciones está-
ticas, queda cargado con una carga Q y a una tensión V. La aplicación del teorema de Gauss a la
superficie cerrada S, de puntos en la Fig. XIX-44, nos conduce a:
z D ? d A = Q Û D d A = dQ Þ D = dQ = Q =s
A
dA
S
siendo el vector D el mismo en todos los puntos del interior del condensador plano. Los valores de
los campos eléctricos en el interior de cada uno de los dieléctricos, serán:
D D D
D =e E Þ E 1 = , E 2 = ,..., E n =
e 1 e 2 e n
Fig. XIX-46.– Condensador plano
Como las tensiones entre las caras planoparalelas de separación entre los dieléctricos valen: con más de un dieléctrico entre sus
armaduras.
V =E e 1 , V =E e , ..., V =E e n
2
1
n
n
2
2
1
la tensión total entre las placas del condensador será:
e e 1
V =S V =S E e = D å i Q = å i Q = å
i
i
i
e i e i A C i
en la que hemos llamado C =e A/e a la capacidad de un condensador plano con un dieléctrico
i
i
i
de permitividad e, que llena sus armaduras. Llamando C =Q/V a la capacidad total del sistema
i
(capacidad del condensador equivalente), obtenemos:
1 V 1
C = Q = å C i
luego la capacidad equivalente al de la Fig. XIX-46, es igual a la de n condensadores colocados en
serie.
Si entre las armaduras de un condensador plano que distan d entre sí, introducimos una lámi-
na plano-paralela de espesor e y paralela a las armaduras (Fig. XIX-47), el sistema obtenido equi-
vale a conservar el vacío entre ellas y acercarlas entre sí una distancia:
e ¢ -1 e A
Dd = e Þ C = 0
e ¢ d - Dd Fig. XIX-47.– Si los condensadores
tienen la misma capacidad, ¿cuánto
En efecto: según acabamos de demostrar, la capacidad equivalente será: vale Dd ?