Page 423 - Fisica General Burbano

436 EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA

D = e 0 E + P Û D =e 0 E +c E =e( 0 +c) E = e E
Si el dieléctrico es homogéneo, lineal e isótropo e es una constante característica del medio. Si
no es homogéneo, e puede ser una función de punto, si no es isótropo puede depender de alguna
dirección particular del espacio, y si no es lineal puede incluso depender del campo aplicado.
Volvamos al caso del condensador plano y calculemos la integral de superficie del vector D a
través de la superficie total «caja de píldoras» A de la (Fig. XIX-43):
T
z D ? d A =e z z P ? d A (7)
E ? d
A +
A T 0 A T A T
z E ? d A = 1 ( A s - A s ) = 1 ( Q - Q ) (8)
por el teorema de Gauss:

A T e 0 f b e 0 f b
z z z z

Por otra parte: P ? d A = P ? d A + P ? d A + P ? d A
A T A 1 A A L
La integral sobre A es cero pues P es cero (fuera del dieléctrico) y también es nula la integral
1
a lo largo de la superficie lateral A , pues P es paralelo a E y por tanto el vector P es perpendicu-
L
lar al dA y el producto escalar será nulo. Queda únicamente:
® z z z
Fig. XIX-43.– «Caja de píldoras». D,
® ® P ? d A = P d A cos q = P d A
E y P son aquí paralelos, puesto
® ® ® ® A A A
que D =e E y P = c E .
y como P =s :
b
z A P ? d A = A s b Û z P ? d A = Q b (9)
A T
«El flujo del vector polarización a través de una superficie cerrada, es siempre igual a las
cargas ligadas a los dieléctricos que se encuentran en su interior».
Las cargas libres no intervienen para nada en el cálculo del flujo del vector polarización a través
de una superficie cerrada.
Sustituyendo las (8) y (9) en la (7) nos queda:
z D?d A = A s - A s + A s A = s Q = Û

z MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
A T f b b f f
Û D?d A= Q (carga libre encerrada en A )
f
T
A T
«Cuando se calcula el flujo del vector D en una superficie cerrada, sola-
mente cuenta la carga libre interior a dicha superficie, independiente-
mente de que exista o no dieléctrico».

Este resultado, que se ha obtenido para un caso particular, es general en
cualquier situación, pudiéndose aplicar a cualquier región del espacio limitada
por una superficie cerrada, y se conoce como la LEY DE GAUSS PARA EL DESPLA-
ZAMIENTO ELÉCTRICO.
Obsérvese que mientras las cargas libres y las ligadas son fuentes del campo
eléctrico E, solo las cargas libres son fuentes del vector D y solamente las car-
gas ligadas contribuyen a P; de tal forma que mientras las líneas de campo del
vector E se representan disminuyéndolas en el interior del dieléctrico, no se dis-
minuyen las líneas de campo del vector desplazamiento, y sólo existen líneas de
campo del vector polarización en el interior del dieléctrico (Fig. XIX-44).
Si aplicamos el teorema de Gauss a una región en la que todas las cargas li-
bres encerradas se distribuyen como una densidad de carga r entonces:
z z z
Q = v r dv Þ A T D ? dA = v r dv
f
Fig. XIX-44.– Esquema de los vectores y líneas de campo
®®
de ED, y ® P en un dieléctrico LHI entre las placas de un por otra parte; si aplicamos al primer miembro de esta ecuación, el teorema de
condensador plano. la divergencia: