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404 ELECTROSTÁTICA
que aparece en el teorema de Gauss (fórmula 7) se refiere a la que se encuentra
en el interior de la superficie cerrada.
Si la distribución de carga interior a la superficie A fuese una distribución vo-
lumétrica, definida por una densidad de carga r (homogénea o no), la carga to-
tal sería:
Q = z V r dV
donde V es el volumen de la distribución. En este caso el teorema de Gauss se
escribiría:
z E ? d A = e 1 z r dV
A
V
0
donde A es la superficie arbitraria que rodee a la distribución, luego en particular
Fig. XVIII-22. El flujo que atraviesa a una superficie ce- podemos tomar la propia superficie de la distribución. La integral del primer
rrada A debido a las cargas en el exterior es nulo. miembro la podemos transformar en una integral de volumen (párrafo VII-10):
zz V E dV Þ z V div E dV = e 1 0 z V r dV
E ? d
A = div
A
H z F r I
o bien, como e es una constante: G div E - J K dV =0
0
V e 0
para que esta relación se verifique para todo dV es preciso que:
r
div E =
e 0
que es la expresión diferencial del teorema de Gauss.
Nótese que los valores de la divergencia de un campo vectorial nos dan las fuentes escalares
de dicho campo en cada punto. Esas fuentes escalares pueden ser positivas o negativas correspon-
Fig. XVIII-23. Las cargas positivas diendo a lo que llamábamos «fuentes» o «sumideros» del campo. En el caso del campo electrostá-
son las «fuentes» del campo eléctrico.
tico tales fuentes son las cargas eléctricas positivas o negativas.
El teorema de Gauss constituye una de las leyes fundamentales de la electrostática, de ahí su
importancia, pero además es un método cómodo para calcular campos electrostáticos en algunos
casos determinados en los cuales se conozca algo de antemano de dicho campo, por ejemplo las lí-
neas de fuerza, o lo que es lo mismo la dirección y el sentido del vector E en cada punto. Con el
teorema de Gauss podemos calcular el módulo del campo fácilmente en estas condiciones. Cono-
cer de antemano las líneas de fuerza del campo es posible cuando la distribución de carga tenga
una simetría muy específica (esférica, cilíndrica o plana). MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
XVIII 23. Cálculo del campo eléctrico producido por una carga Q uniformemente
distribuida en una esfera
Resolvamos como aplicación del teorema de Gauss este caso particular. Si la distribución es
uniforme, la simetría de la distribución de cargas es esférica. No existe ninguna dirección privile-
giada, por consiguiente el campo tiene que ser necesariamente radial.
Vamos a calcular el campo a una distancia r del centro de la distribución. Tomaremos una su-
Fig. XVIII-24. Las cargas negativas
son los «sumideros» del campo eléc- perficie de integración de acuerdo con la simetría de nuestro problema: una esfera de radio r
trico. concéntrica con la distribución. El campo en P, por ser radial será paralelo a r y también a dA.
Calculemos el flujo del campo a través de A.
a) En un punto P exterior a la distribución (r ³a, Fig. XVIII-25).
z z z
f = A E ? d A = A E d A cos q = E d A
A
como E sólo depende de r, y A es una esfera, es constante al integrar, luego:
z
f = E A d A =E 4 p r 2
por otra parte: f =Q/e , en la que Q es la carga total, que igualada a la anterior nos queda:
0
1 Q Q r
E = 2 Þ E = 3
4pe 0 r 4pe 0 r
®
Fig. XVIII-25. Cálculo de EP() en
un punto del exterior de una esfera «El campo que produce una distribución esférica y homogénea de carga en un punto exte-
homogéneamente cargada. rior es el que produciría una carga puntual en el centro de la distribución».
