Page 390 - Fisica General Burbano

EL CAMPO ELÉCTRICO 403
r z
q 1 q d A
E = 2 Þ f = 2
4pe 0 r 4pe 0 Aesfera( )
puesto que hemos tomado el origen de coordenadas en el centro de la esfera
sobre la cual integramos, r es constante y puede salir de la integral:
1
q
2
f = pe z dA = q 1 4 ( p r ) = q
4 0 r 2 Aesfera) 4 pe r 2 e 0
(
0
Vamos a probar que este resultado es independiente de la forma de la su-
perficie. Consideramos una carga puntual q. Vamos a calcular el flujo del
campo eléctrico producido por esa carga a través de una superficie cerrada A
(Fig. XVIII-20). En un punto P de la superficie el campo es E(r) y el vector
área dA formará un ángulo q con el campo. El flujo a través de dA será:
1 q q d A cos q
df =E · dA =E dA cos q E = 2 Þ d f = 2 (6)
4pe 0 r 4pe 0 r Fig. XVIII-20.– Flujo del campo eléctrico producido por una
carga q a través de una superficie cerrada A.
Observemos en la Fig. XVIII-21 que dA viene relacionada con dA¢trazada
desde q como centro por: dA¢=dA cos q, puesto que al ser infinitamente
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pequeña dA y dA¢, ésta última se puede considerar como proyección de la
primera. El ángulo q que forman dA y dA¢es el mismo que forma el vector
dA (que tiene la dirección de la normal) y el vector E, por tener el mismo
complemento. Llamando dw a la superficie que determina en la esfera de ra-
dio unidad el ángulo sólido que tiene por vértice q y cuyas aristas pasan por
el contorno de dA; y como dA¢y dw son directamente proporcionales al cua-
drado de sus radios se obtiene:

dA¢ r 2 2 dA cos q
= Þ dA¢ = r dw Þ dw =
dw 1 2 r 2
q
según esto, sustituida esta última en (6) nos quedará: d f = dw
4 pe 0
y el flujo a través de A será:
q pe z q q
q
f = d w = d w = 4 p =
A pe z 4 0 4 0 A 4 pe 0 e 0
Obsérvese que si en vez de tener únicamente una carga en el interior de la
superficie, hubiésemos tenido una distribución (de cargas puntuales, por
ejemplo) este mismo razonamiento se podría haber hecho para cada una de Fig. XVIII-21.– El flujo del campo eléctrico producido por
ellas, es decir, obtendríamos que, el flujo de campo electrostático debido a la una carga q a través de dA es el mismo que a través de dw.
carga q a través de A sería:
i
z q
f = A E ? d A = e 0 i
i
i
Luego el flujo del campo electrostático total, en virtud del principio de superposición será:
z
z
f =å f = ( å )E ? dA = E ? dA = åq i
i
i
i A A e 0
z Q
Resumiendo: f = E d? A = e 0 (7)
A
donde Q representa la carga total interior a la superficie A.
Si la carga se encuentra fuera de la superficie cerrada (Fig. XVIII-22), el flujo que entra a través de
dA lo calculamos de la misma manera que antes y nos dará:
1
q d A cos j q
df =E ? dA 1 = 4 pe 0 1 r 1 2 1 = 4 pe 0 dw
1
1
y el flujo que sale a través de dA será:
2
q d A cos j 2 q
2
d f = E ? d A 2 = 4 pe 0 r 2 2 = 4 pe 0 dw
2
2
por tanto, el flujo neto será cero, y lo mismo ocurrirá para todos los conos que tracemos desde q.
Entonces, si la carga está fuera de la superficie: f =0. Quedando así demostrado que la carga Q