Page 392 - Fisica General Burbano

EL CAMPO ELÉCTRICO 405

b) En un punto P interior (r £a, Fig. XVIII-26). En este caso los argumentos de simetría son
exactamente iguales. Para integrar, tomaremos una esfera A¢de radio r que pasa por el punto P.
Igual que antes E es paralelo a r y a dA, luego:
z z
f = A ¢ E ? d A =E A d A =E 4 p r 2
¢
y por otra parte: f =Q¢/e , donde Q¢es la carga encerrada dentro de A¢(Q¢<Q), luego:
0
Q¢ 1
E = 2
4pe 0 r
Como la carga total nos dicen que está uniformemente distribuida por todo el volumen, la
densidad volumétrica de carga será constante y de valor:

Q Q ¢ r 3 Q 1 Q
r = = Þ Q ¢ =Q Þ E = r Þ E = r
4 p a 3 4 p r 3 a 3 4 pe a 3 4 pe a 3
0
0
3 3
Compruébese que ambas expresiones coinciden cuando calculamos el campo en la superficie
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
de la distribución (r =a). En este cálculo se ha supuesto que en el interior de la esfera la permiti-
vidad e es la misma que en el exterior.
0
PROBLEMAS:35 al 43.
XVIII – 24. El campo electrostático es un campo de fuerzas conservativo
Una carga puntual q produce en el espacio un campo de fuerzas centrales con simetría esférica ®
puesto que cumple con las características de éstos ya que la ley de Coulomb dice: «La fuerza que Fig. XVIII-26.– Cálculo de EP() en
actúa sobre una carga puntual fija q¢debida a la presencia de otra carga puntual fija q es directa- un punto del interior de una esfera
mente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la dis- homogéneamente cargada.
tancia que las separa y está dirigida según la línea definida por ambas cargas»:
qq ¢
F =K r
r 3
esta fuerza cumple con las dos condiciones para ser central con simetría esférica; es decir: cual-
quiera que sea r, posición en el espacio de la carga puntual q¢respecto de la q, la dirección F pasa
por el punto en que se encuentra q y el módulo de dicha fuerza es el mismo en puntos equidistan-
tes de q.
Vamos a demostrar que: «Un campo electrostático es un campo conservativo».
En efecto: supongamos que movemos* * una carga del punto 1 al 2, a lo largo de un camino M
(Fig. XVIII-27), y luego volvemos a 1 por una trayectoria diferente N. Para recorrer la carga el ca-
mino intermedio dr , cuando pasa de 1 a 2 por M, el trabajo realizado será:
1
dW =F · dr =F proy dr =F dr
1
1
F
en la vuelta por el camino N se realiza un trabajo de signo contrario al anterior, cuyo valor es:
dW =F · dr =– F proy dr =– F dr
2
F
2
igual a la anterior pero de signo contrario. Sumando todos los trabajos elementales en toda la
vuelta obtenemos:
z z 2 2 N F ? d r = 0 Þ G = z c F ? d r = 0
2
r
F ? d +
M
1
al verificarse esta ecuación, queda demostrado el teorema enunciado.
Esta propiedad del campo, que hemos obtenido para el caso particular de una car-
ga puntual, es general para cualquier distribución puesto que ésta se puede imaginar
dividida en cargas puntuales, para cada una de éstas la circulación de la fuerza será
nula, luego también lo será para la fuerza resultante.
XVIII – 25. La circulación del campo electrostático
Consecuencia inmediata de la definición del campo electrostático E y de lo dicho
en el párrafo anterior, es:
G = z c E ? d r =0

* Este movimiento lo consideramos infinitamente lento para no modificar las condiciones electrostáticas Fig. XVIII-27.– El campo electrostático es un cam-
(cargas fijas). po de fuerzas conservativo.