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PROBLEMAS 219

PROBLEMAS
A) MOMENTOS DE INERCIA
1. En los vértices sucesivos A, B, C y D de un cuadrado de 10 cm
de lado hay localizadas masas de 1, 2, 3 y 4 g, respectivamente. Deter-
minar el momento de inercia del sistema y su radio de giro con respecto
a un eje perpendicular al plano que lo contiene y que pasa: 1) Por A.
2) Por el centro del cuadrado. 3) Por el centro de masa del sistema.
4. Comprobar 1 y 2 aplicando el teorema de Steiner
2. Tres masas puntuales de 2, 3 y 4 kg se encuentran en A (1, 2, 1),
B (–2, 1, 0) y C (3, 2, 4) referidas a un sistema de ejes cartesianos y me-
didas éstas en metros. Calcular el momento de inercia del sistema con
respecto a: 1) El origen de referencia. 2) Los ejes del sistema de refe-
rencia. 3) Los planos XOY, YOZ y XOZ. 4) Verificar los dos primeros
teoremas referentes a los coeficientes de inercia.
3. Demostrar que el momento de inercia de un sistema formado
por dos partículas de masas m y m , separadas una distancia fija r, con
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respecto a un eje que pasa por su CM y es perpendicular a la línea que Problema X-16. Problema X-17.
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une las dos masas, es I =mr , siendo m la masa reducida del sistema.
4. Calcular el momento de inercia de una varilla delgada homogé-
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nea respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por uno de sus ex- B) DINÁMICA DEL SÓLIDO GIRANDO ALREDEDOR
tremos. DE UN EJE
5. Se tiene una varilla homogénea de longitud L y masa M. Calcu-
lar su momento de inercia respecto de un eje (Z ) que pasa por uno de 18. Una rueda de fuegos artificiales de 1 m de radio lleva, sujetos
sus extremos y que forma con ella un ángulo j (ver figura). en los extremos de un diámetro, dos cartuchos que al arder ejercen dos
fuerzas iguales, constantes, tangenciales y de sentidos contrarios.
1) ¿Qué clase de movimiento será el de la rueda? (Se desprecia la resis-
tencia del aire y la pérdida de masa de los cartuchos mientras se que-
man.) 2) Cada cartucho produce una fuerza de 0,25 kp. Calcular el mo-
mento del par de fuerzas que hace girar a la rueda, expresándolo en kp .
m y en unidades del SI y cuál es la dirección y sentido del vector mo-
mento, si vemos girar la rueda en el sentido de las agujas del reloj. 3) Si
en los 10 primeros segundos ha dado la rueda cinco vueltas, ¿cuántos
radianes ha girado? 4) Calcular la aceleración angular y su velocidad
angular al cabo de los 10 s.
19. Un «torniquete hidráulico» consiste en el aparato esquematiza-
do en la figura, cuya sección horizontal también dibujamos. Calcular:
1) La fuerza de reacción que lo mueve en función de la velocidad de sa-
Problema X-5. Problema X-6. lida del líquido (v), de su densidad (r) y del gasto (G). Gasto o caudal
de una tubería es el volumen de fluido que pasa por la sección transver-
6. Calcular el momento de inercia respecto del eje EE¢de la lámi- sal en la unidad de tiempo: G =dV/dt =Av. 2) Si el momento de inercia
na, de espesor despreciable, de la figura. respecto al eje de giro del «torniquete» es I, ¿cuál sería su aceleración
7. Calcular el momento de inercia de un cilindro macizo y homogé- angular si no existieran rozamientos?
neo con respecto a su eje geométrico. 20. Una varilla de longitud L y densidad lineal constante l gira con
8. Calcular el momento de inercia de un cono respecto a su eje de un extremo fijo barriendo una superficie cónica de abertura j. Si lo hace
simetría. con velocidad angular w, calcular el valor del ángulo j.
9. Calcular el momento de inercia de una esfera maciza y homogé- 21. Un cilindro macizo gira alrededor de su eje con una velocidad
nea con respecto a un eje que pasa por su centro. angular de 600 rpm. Su masa es de 1 kg y su radio de 5 cm. Tangencial-
10. Calcular el momento de inercia de una esfera cuya densidad mente se aplica una fuerza constante de frenado de 0,1 kp. Determinar:
– ar (con r y a cons- 1) Aceleración angular de frenado. 2) Tiempo que tarda en pararse.
varía con la distancia al centro de la forma r =r 0 0
tantes), respecto de un diámetro. 3) Número de vueltas que da hasta que se para.
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11. Calcular el momento de inercia de un cilindro macizo y ho- 22. Una rueda tiene un momento de inercia de 10 kg · m y gira a
mogéneo con respecto a un eje perpendicular a su eje geométrico y que razón de 40 rpm. Se le aplica una fuerza tangencial, constante y se para
pasa por el centro de su altura (H). en 30 s. Determinar: 1) El valor del momento de la fuerza aplicada.
12. 1) Calcular el radio de giro de un cilindro macizo y homogéneo 2) Aceleración angular del frenado. 3) Número de vueltas que da la rue-
con respecto a su eje geométrico. 2) Calcular el radio de giro de una es- da desde que se aplica la fuerza hasta que se para.
fera maciza y homogénea con respecto a un eje que pasa por su centro. 23. El equipo móvil de un motorcito eléctrico tiene una masa de
3) Calcular el radio de giro de una varilla delgada y homogénea con res- 20 g y un radio de giro de 3 cm. El par de fuerzas responsable del movi-
pecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro. miento vale 2 g · cm. ¿Qué tiempo precisa el motorcito para alcanzar
13. Conocido el momento de inercia de una varilla delgada y ho- una velocidad de 100 rpm?
mogénea con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por uno 24. Si una rueda de 80 cm de radio y de momento de inercia
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de sus extremos determinar el correspondiente a un eje paralelo al ante- 10 kg · m gira impulsada por un cohete fijo en su periferia, como en los
rior y que pasa por el centro. fuegos artificiales, de manera que los gases los expulsa tangencialmente
14. Conocido el momento de inercia de una varilla delgada y ho- y de una manera constante, se desea calcular: 1) La fuerza constante de
mogénea con respecto a un eje (e) perpendicular a ella y que pasa por reacción de los gases, sabiendo que al cabo de 6 s la rueda, que partió
uno de sus extremos, determinar el correspondiente a un eje paralelo al del reposo, alcanza la velocidad de 1 Hz. 2) El valor de las aceleracio-
primero (e¢) y que dista de él 1/4 de la longitud de la varilla. nes tangencial y normal de un punto de su periferia, al cabo de esos 6 s.
16. Determinar el momento de inercia de la pieza maciza y ho- Dibujar también el vector que representa la aceleración total. 3) ¿Cuán-
mogénea de la figura respecto del eje e, sabiendo que el cilindro central to tiempo tardaría la rueda en alcanzar la misma velocidad angular, si el
tiene de masa M y radio R, y los acoplados son iguales y tienen de masa aro periférico aumentara su masa en 5 kg?
m y radio r. 25. Una rueda maciza de 32 cm de diámetro que pesa 17,3 kg se
17. Calcular el momento de inercia del bloque cúbico, homogéneo desea que gire a 385 rpm, aplicándole, para ello, dos fuerzas de 2,6 kp
de densidad r de la figura, respecto del eje EE¢. en sentidos opuestos sobre su periferia. ¿Cuánto tiempo tardaría en lo-