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182 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS

La velocidad final de cada cuerpo en el sistema CM es igual a la inicial multiplicada por el
coeficiente de restitución y de sentido contrario.
Si tenemos en cuenta la expresión para la energía cinética obtenida en el párrafo VIII-12, el
factor Q toma el valor:
I
I F 1
K
T
T
Q = ¢ - T =G F 1 MV 2 + T¢J -G MV 2 + T J = ¢ - T int
int
int
int
H 2 K H 2
siendo M =M +M ; que expresada en función de la masa reducida:
2
1
1 2 1 2
Q = m v¢ - m v 12 1 1
12
2
2
2
2
2 2 Þ Q= 2 m ( e v - v ) = 2 m v 12 e ( 2 - 1)
12
12
v¢ =- ev 12
12
y en definitiva:
2
e -1 M M 2
v
Q =D T = 1 2 ( v - )
2
1
2 M + M 2
1
En el caso particular de choque parcialmente inelástico en el que M es enormemente mayor
2
que M (M ? M ), el valor de la velocidad del CM será: V ; v , que sustituida en (24) nos queda:
1
2
2
1
v¢; (1 +e) v – ev 1 v¢; v 2
1
2
2
y si v =0 (pelota rebotando en el suelo):
2
v¢=–ev 1 v¢=0
2
1
El choque elástico y el perfectamente inelástico son los casos extremos del parcialmente inelás-
tico; ya que para obtener todas las fórmulas que caracterizan al primero no hay más que hacer e =
1, y para el segundo e =0.
PROBLEMAS:61 al 66.
VIII – 20. Choques en dos dimensiones
Si el choque no es frontal, es decir las direcciones de las velocidades no están contenidas en la
misma recta, plantearemos el problema en dos dimensiones (en el plano que contiene a los vecto-
res velocidad de las partículas o cuerpos) eligiendo un sistema de referencia inercial cualquiera
OXY.
En el caso más sencillo, que como en los choques frontales es el choque totalmente inelástico,
basta calcular la velocidad del centro de masas del sistema antes del choque, para saber cómo se
moverán los dos cuerpos unidos después de realizarlo (Fig. VIII-10) o lo que es
lo mismo: conociendo las condiciones iniciales [el cuerpo de masa M posee
1
una velocidad v (v , v ) y el de masa M , v (v , v )], la aplicación del teo- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
2y
1x
2x
1y
2
2
1
rema de conservación del momento lineal nos resuelve el problema del cálculo
de la velocidad final de ambos. En efecto:
Mv + M v 2x = M( 1 + M ) v x
11x
2
2
p + p = p Þ Mv + M v 2y = M( 1 + M ) v y
2
1
2
11y
2
de las que deducimos v y v , y por tanto, queda resuelto el problema.
y
x
En todos los demás casos (Fig. VIII-11), no es suficiente con el conocimien-
to de las condiciones iniciales para resolver el problema, puesto que para obte-
ner v¢(v¢, v¢) y v¢(v¢, v¢), cuatro incógnitas, contamos con las ecuaciones:
1x
1
2 x
1y
2
2 y
Fig. VIII-10.– Choque perfectamente inelástico en dos
dimensiones. Mv +M v =Mv ¢ +M v ¢
2 2x
11x
2 2x
11x
p + p = p¢+ p¢ Mv +M v =Mv ¢ +M v ¢
1
2
1
2
11y
2 2y
2 2y
11y
y una tercera que será el valor de Q* en el choque parcialmente elástico o la
conservación de la energía cinética (Q =0) en el caso de choque elástico. Para
poder resolver el problema se tiene que medir una de las incógnitas después de
la colisión, o alguna otra magnitud que nos conduzca a su conocimiento.
En el caso de la Fig. VIII-12 los ángulos j y j después de la colisión de-
1
2
penden del «PARÁMETRO DE IMPACTO» (b), que es la distancia del centro de M a
2
la dirección de v . Para obtener: v¢(v¢cos j , v¢sen j )y v¢(v¢cos j , –
1
1
1
2
2
1
1
2
1
v¢sen j ), contamos con las ecuaciones:
2
2
Mv + M v 2 =Mv cos j 1 + M v ¢cos j 2
¢
2
2
11
11
2
p + p = p¢+ p¢ 0 = Mv ¢sen - M v ¢sen
1
2
1
2
Fig. VIII-11.– Choque en dos dimensiones. 11 j 1 2 2 j 2