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ENERGÍA EN LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 177

m a · dr =F · dr +F · dr 1
1
1
1
1
1
12
m a · dr =F · dr +F · dr 2
2
2
2
21
2
2
sumando estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que F =– F 21 y que dr – dr =d(r – r ) =
12
1
2
1
2
dr , obtenemos:
12
m a · dr +m a · dr =F · dr +F · dr +F · dr 12
1
1
2
2
1
1
2
2
12
2
1
Integrando desde un tiempo t (en que la posición de ambas partículas la llamaremos A y a la
0
energía cinética de ambas T ) hasta un tiempo t (en que la posición de ambas partículas la llama-
0
remos B y a la energía cinética de ambas T), en el que la partícula m pasa de v a v y la m de
1
1
2
10
v a v ; y teniendo en cuenta las operaciones hechas en la demostración del teorema de las fuer-
2
20
zas vivas para una partícula, nos quedará:
z
2 I
B
G 1 F 2 H m v - 1 mv 10J +G 1 F 2 H mv 2 2 - 1 mv 2 I K z B 1 dr 1 +F ? d )r 2 + F ? dr 12 Fig. VIII-7.– Sobre las partículas m y
2
K
20J = (F ?
1 r
2
12
2
2
2
11
2
2
m , actúan las fuerzas externas F 1 y
r
o lo que es lo mismo: A A F 2 2 r y las de interacción mutua F y
r
12
F 21 .
T - T = W ext + W int (8)
0
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
en la que como ya hemos dicho:
1 1
T = m v 2 1 + m v 2 2 (9)
1
2
2 2
1 1
2
T = m v 2 + m v 20 (10)
2
1 10
0
2 2
son las energías cinéticas totales del sistema de las dos partículas en los instantes t y t .
0
Hemos llamado:
z
B
W ext = (F ? dr 1 +F ? d )r 2 (11)
2
1
A
que nos mide el trabajo total hecho por las fuerzas exteriores en el mismo intervalo de tiempo. Y
por último:
z
B
W int = F ? dr 12 (12)
12
A
nos mide el trabajo hecho, entre t y t, por las fuerzas interiores.
0
Este desarrollo hecho para dos partículas es válido para un sistema compuesto por cualquier
número de ellas. Las expresiones (9), (10), (11) y (12) para un sistema de n partículas serán:
1 2 1 2
T =å m v i T =å m v i0
i
0
i
i 2 i 2
iz B 1 jz B
W ext =å F ? dr i W int = 2 i ¹ å F ? dr ij
i
ij
A
A
obsérvese que las tres primeras tienen un término para cada partícula, mientras que el trabajo para
las fuerzas interiores sólo tiene un término para cada par.
Por tanto, se expresará el TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS diciendo:
«El trabajo total de todo tipo de fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas, es igual
a la variación de la energía cinética que experimenta el sistema».
Llamando W al trabajo total, expresamos matemáticamente este teorema:
W =D T = T - T 0
Evidentemente, si W =0, la energía cinética del sistema permanece constante con el tiempo.
VIII – 14. Teorema de conservación de la energía mecánica total de un sistema
En el párrafo anterior hemos visto que el trabajo total de todo tipo de fuerzas que actúan sobre
un sistema de partículas se emplea en la variación de su energía cinética; clasificábamos las fuerzas
actuantes en interiores y exteriores, también se pueden clasificar en conservativas y no conservati-
vas. Llamando W y W a los trabajos realizados por las fuerzas conservativas y no conservativas
nc
c
podemos escribir el teorema de las fuerzas vivas para el sistema:
W
W = W int + W ext = W c + nc =D T (13)