Page 164 - Fisica General Burbano

174 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS

con lo que obtenemos:
J =SR ´m v +Sr¢´m v¢=R ´(Sm) v +Sr¢´m v¢ Þ
i
i
i
i
i
i
i
i
r
J = R ´M v + å¢ ´m i v¢ (5)
i
i
Llamando al primer sumando MOMENTO ANGULAR ORBITAL (L) y al segundo sumando MOMENTO
ANGULAR INTERNO (S), o SPIN, pondremos:
J = L + S
«El momento angular de un sistema de partículas con respecto a un punto O, es igual al
momento angular de una partícula de masa igual a la suma de todas ellas, concentrada en
el centro de masas, más el momento angular debido al movimiento de las partículas alrede-
dor de (referido a) su centro de masas.»
El momento angular interno es nulo cuando:
1) r¢y v¢son paralelos, es decir, si todas las partículas se mueven hacia o alejándose del CM
i
i
radialmente.
2) v¢=0, es decir: v =v y todas las partículas poseen la misma velocidad que el CM por lo
i
i
tanto el sistema se mueve con traslación pura (sin giro).
Si el único movimiento del sistema es el de rotación alrededor de un eje que pasa por el CM,
entonces v =0 y todo el momento angular del sistema se reduce a su momento angular interno.
PROBLEMAS:37 al 40.
VIII – 10. Momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas
En la cuestión VIII-4 se obtenía la relación entre vectores de posición: r =R +r¢, que sustitui-
i
i
da en la expresión del momento total de las fuerzas exteriores para un sistema de partículas, con-
duce a:
N ext =Sr ´F =S(R +r¢) ´F =R ´SF +Sr¢´F =R ´F ext +N CM (6)
i
i
i
i
i
i
i
donde hemos llamado N , al momento de las fuerzas externas respecto al CM. Por otro lado deri-
CM
vando la expresión (5) con respecto al tiempo, resulta:
dJ dR M dv dS
dt = dt ´ Mv + R ´ dt + dt
en la que el primer miembro no es otra cosa que N ; el primer sumando del segundo miembro es
ext
nulo, ya que v ´Mv =0 por ser los dos vectores paralelos; y en el segundo sumando nos queda:
d v MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
R ´ M = R ´ F
dt ext
resultando, por tanto, la expresión:
d S
N = R ´ F +
ext
ext
dt
que comparada con (6) nos determina:
d S .
N = = S
CM
dt
esta ecuación se diferencia de la (4) en que el momento angular y el momento externo en ella se
miden con relación al CM, y es válida aun no siendo éste origen de un sistema de referencia iner-
cial. La expresión anterior es de gran utilidad en el estudio de la dinámica del sólido rígido.
VIII – 11. El problema de los dos cuerpos. Masa reducida
Se llama PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS al estudio del movimiento de dos partículas aisladas, es
decir, que sobre ellas no actúan fuerzas externas y únicamente se ejercen sobre ellas las fuerzas in-
ternas de interacción entre ambas; conocidas éstas, las ecuaciones del movimiento de ambas partí-
culas serán:
d v F d v d v F d v
F =m 1 Û 12 = 1 F =m 2 Û 21 = 2
12
1
dt m 1 dt 21 2 dt m 2 dt
teniendo en cuenta que v – v =v 12 es la velocidad de m relativa a m (velocidad dada por un
2
1
1
2
observador montado en m ) y que F =– F , restando las dos ecuaciones anteriores nos queda:
21
12
2