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172 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS

en la que se ha supuesto que la VELOCIDAD DE EXPULSIÓN DE LOS GASES (m =dM/dt =m/t) es cons-
tante en todo el tiempo (t) que ha durado la propulsión. Por tanto, el cambio de velocidad del co-
hete dependerá de la velocidad de expulsión (que tiene un sentido opuesto) y de la fracción de
masa emitida en ese tiempo. La expresión anterior la podemos escribir:
M 0 e ( v - v 0 )/ v rel
M - m =
0
si la propulsión se efectúa a velocidad nula (v =0) la ecuación del cohete se escribirá:
0
M 0 e vv rel
/
M - m t =
0
en la que m (como se ha dicho) es la masa de gas lanzada por segundo.
LOS PROPULSORES NO AUTÓNOMOS han de captar como comburente aire atmosférico; no son ap-
tos para viajar fuera de la atmósfera. Una de las modalidades de los propulsores no autónomos o
de propulsión ligada son los TURBO-REACTORES en los que el aire captado por el motor es sometido
a un comprensor antes de intervenir en la combustión.
Supongamos que el turbo-reactor capta una masa de aire dm en el tiempo dt lo suficientemen-
te pequeño como para poder considerar como constantes la velocidad v con que es captada la
masa dm de aire y la v de salida de los gases con respecto al aparato. Si dm¢es la masa de com-
rel
bustible gastada en el tiempo dt, el impulso que recibe el turbo-reactor es:
F dt =(dm +dm¢) v – v dm
rel
p
y la fuerza propulsora será:
(
dm + m¢ ) dm
F = v rel - v
p
dt dt
d (m +m¢)/dt es la masa de gases de combustión lanzada en un segundo a la velocidad v¢con res-
pecto al turbo-reactor; dm/dt es la masa de aire captada por segundo a la velocidad v .
rel
Al igual que en el caso de los propulsores autónomos la fuerza F compuesta con las demás
p
que actúan sobre el aparato (atracción gravitatoria, resistencias, etc.) determinan el movimiento
del turbo-reactor.
PROBLEMAS:32 al 36.
B) MAGNITUDES DINÁMICAS ANGULARES DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

VIII – 8. Segunda ecuación del movimiento para un sistema de partículas. Momento
angular del sistema. Principio de conservación del momento angular
Supongamos que tenemos un sistema de n partículas de masas m , m , m , ..., m ; cuyos vec- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
3
2
1
n
tores de posición con respecto a un punto O, en un instante determinado son: r , r , r , ..., r y sus
3
n
2
1
velocidades con respecto a O son: v , v , v , ..., v .
3
n
1
2
Definimos MOMENTO ANGULAR DEL SISTEMA CON RESPECTO AL PUNTO O como: «El vector (J) re-
sultado de la suma de los productos vectores del vector de posición de cada partícula, por
su momento lineal.»

J = r ´ p 1 r + 2 p ´ 2 + ... r+ p´ n r = å p´
i
n
1
i
Estudiemos la variación de J con el tiempo. Derivando respecto de t obtenemos:
. d F I d( r ´ p ) . .
J = å r ´ p i K =å i i =å r ´ p + å r i p ´ i
i
i
dt H i i dt i i i
el primer sumando es:
.
år i ´ p i = åv i ´m v i =0
i
i i
puesto que los dos vectores son paralelos. En el segundo sumando:
.
p = F + å F ij
i
i
j
es decir, la suma de las fuerzas externas e internas que actúan sobre la partícula i-ésima; luego:
. F I F I
K
H K
r
F
J =å r ´G H F + å J =å r ´ F + å G J (3)
F å
´
i
i
ij
i
i
i
ij
i j i i j