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SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS 171

Para un determinado instante, dividimos los dos miembros de la ecuación anterior por Dt
(tiempo de duración de la interacción), haciéndolo tender a cero y pasando al límite nos queda:
d p / dt = d p / dt , y la definición de fuerza nos conduce a:
S
S¢
F =–F 21
12
siendo F la fuerza total que el sistema S¢ejerce sobre el S, y F la que ejerce sobre S¢el sistema
12
21
S. Queda así demostrada la tercera ley de Newton para dos sistemas de partículas. De los resulta-
dos obtenidos deducimos que los sistemas de partículas en interacción pueden ser tratados como
si fueran partículas.
En resumen, partiendo del principio de conservación del momento lineal de un sistema de
partículas aislado, hemos deducido la primera y tercera leyes de Newton, siendo por lo tanto estos
dos teoremas; la segunda ley de Newton es un principio definitorio que nos cuantifica la interac-
ción entre partículas o sistemas, tomando el valor de la variación temporal del momento lineal.

VIII – 6. Sistemas con masa variable
Supongamos un cuerpo en movimiento que absorbe una corriente de materia (Fig. VIII-4). Si
en un instante determinado t, la masa del cuerpo es M y su velocidad v, moviéndose la corriente
de materia con la velocidad u >v, dando alcance al cuerpo e incrustándose en él, entonces es el
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instante t +dt la masa del cuerpo habrá aumentado en dm y su velocidad pasará de v +dv. El
momento lineal del sistema cuerpo y dm captada, será en el instante t: Mv +udm; y en el t +dt:
(M +dm) (v +dv); la variación total de momento lineal será:
dp =(M +dm) (v +dv) – (Mv +udm) =Mdv +[(v +dv) – u] dm
la cantidad u – (v +dv) =v rel es la velocidad relativa de la corriente de materia respecto del cuer-
po; dividiendo por dt y teniendo en cuenta la primera ecuación del movimiento, nos queda: Fig. VIII-4.– La corriente de materia
con velocidad u > v da alcance al
d v dm . . cuerpo y se incrusta en él.
v
F =å F ext =M dt v - rel dt Þ M v = F + m (2)
rel
el último término de esta ecuación es el ritmo con que se transmite «impulso» hacia el cuerpo (o
.
fuera de él, entonces el signo de v m sería negativo) por efecto de la masa que adquiere (o emi-
rel
te). Puede interpretarse como la fuerza ejercida sobre el sistema por la masa que se une a él (o lo
abandona). F es la resultante de todas las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo, en la que natural-
mente no entra la que sobre él ejerce el chorro de materia.
VIII – 7. Cohetes y motores a reacción

La aplicación más importante del problema de los sistemas de masa variable, son los COHETES
Y MOTORES A REACCIÓN entendiéndose como tales aquellos en los que su propulsión se realiza por la
reacción mecánica de un chorro de gas, produciéndose un movimiento del sistema solidario al mo-
tor de sentido contrario al de los gases.
Existen dos tipos de motores a reacción o termopropulsores. Los PROPULSORES AUTÓNOMOS lle-
van en sí el combustible y el comburente necesarios para provocar el chorro de gas saliente a la
velocidad adecuada. El avance de estos cohetes (con combustible y comburente sólidos) o reacto-
res (con combustible líquido y comburente líquido o gaseoso) no está supeditado a la existencia de
aire exterior; pueden avanzar, por tanto, fuera de la atmósfera.
Consideremos el caso más sencillo de propulsor autónomo, en él, al propulsarse existe una dis-
minución de masa en el tiempo dt, pasando de M a M – dM, aumentando su velocidad, con lo
que la ecuación (2) del cohete será:
. .
M v = F - v rel M = F - F p

el último término de esta ecuación recibe el nombre de FUERZA PROPULSORA (F ) que compuesta
p
con las fuerzas externas, es decir con la atracción gravitatoria, con la resistencia del aire al avance
y la provocada por la disminución de presión en la parte superior del reactor que avanza (estudios
de Aerodinámica), da una resultante que produce el movimiento adecuado.
Si volamos en el espacio vacío y libre de fuerzas externas la ecuación anterior nos queda:

dv dM dM
M =- v Þ dv = - v
dt rel dt rel M
Si en el instante inicial el cohete tiene una masa M y una velocidad v y para alcanzar una ve-
0
0
locidad v gasta una masa m de combustible y comburente, la masa del cohete en este tiempo
habrá disminuido a M – m; la integración de la última expresión nos conduce a:
0
M z
z v dv =- v M - m dM Þ v - v v = ln M 0
0
0
v 0 rel M 0 0 rel M - m