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ENERGÍA EN LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 175

d(v - v 2 ) F 12 F 21 dv 12 G 1 F 1 I J F m + m 2 F
1
1
=
12
dt = m 1 - m 2 Û dt H m 1 + m K 12 Û a = mm 2 12
2
1
mm
Se llama MASA REDUCIDA a la cantidad: m = 1 2
m 1 +m 2
con lo que el valor de la aceleración relativa en función de esta cantidad será:
F
a 12 = 12 Û F 12 = m a 12
m
expresión de la que deducimos el teorema siguiente:
«El movimiento relativo de dos partículas sujetas a su interacción mutua es equivalente al
movimiento, respecto a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa re-
ducida sometida a una fuerza igual a la de interacción entre ambas». Fig. VIII-6.– Sobre las partículas m y
1
m solamente actúan las fuerzas de
2
La introducción del sistema de referencia de centro de masas nos ha permitido separar el estu- interacción entre ellas. La ausencia
r
dio dinámico de un sistema de n partículas en dos partes, el movimiento del CM con masa M =Sm i de fuerzas externas hace que v CM =
r
respecto de un sistema de referencia inercial y el movimiento de las partículas respecto del CM. Ló- ct . e
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
gicamente, este proceso se puede seguir de la misma forma expuesta hasta ahora para dos partí-
culas no sometidas a fuerzas exteriores.
Las expresiones de los momentos lineal y angular de este sistema respecto del CM, adoptan una
forma especialmente útil. En efecto: las posiciones de las partículas respecto del CM son:
m r +m r m r ( -r ) m r
r ¢ =r -R = r - 11 2 2 = 2 1 2 = 212
1
1
1
m 1 +m 2 m 1 +m 2 m 1 +m 2
m r ( -r ) m r
r ¢=r -R = 1 2 1 =- 112
2
2
m 1 +m 2 m 1 +m 2
las respectivas velocidades son:
r d ¢ m 2 v 12 r d ¢ m v
v ¢= 1 = v ¢= 2 =- 1 12
1
dt m 1 +m 2 2 dt m 1 +m 2
con lo que los momentos lineales resultan:
p ¢=m 1 v 1 ¢ Þ p ¢= vm 12
1
1
p
2
p ¢=m 2 v ¢ Þ p ¢=- vm 12 Þ p 1 ¢+ ¢=0
2
2
2
es decir, el momento lineal interno de las dos partículas es nulo.
Y para el momento angular interno:
m
S = r¢ ´ p¢= 2 r 12 ´ m v 12
1
1
1
m 1 +m 2
m
(
S = r¢´ p¢=- 1 r 12 ´- m v )
2
12
2
2
m 1 +m 2
con lo que:
F m m I
S = S + S 2 = G 2 + 1 J r ´ m v 12 Þ S = r 12 ´m v 12
12
1
H m 1 +m 2 m 1 + K
m
2
Estas expresiones nos indican que podemos reducir el problema de dos cuerpos con interac-
ción mutua a un problema de un solo cuerpo de masa m, velocidad v 12 y vector de posición res-
pecto del centro de masas r , lo cual constituye una gran simplificación. Podemos de esta forma
12
estudiar el movimiento de un electrón respecto del núcleo considerando ambos reducidos a una
partícula de masa m sometida a la fuerza de interacción eléctrica entre ellos; o el movimiento de la
Luna alrededor de la Tierra como un cuerpo, de masa la reducida del sistema, bajo la acción de
una fuerza igual a la atracción gravitatoria entre ambos cuerpos.
PROBLEMAS:41 y 42.
C) ENERGÍA EN LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
VIII – 12. Energía cinética de un sistema de partículas. Energía cinética interna del
sistema
Si n partículas de masas m , m , ..., m se encuentran, en un instante, en posiciones referidas a
2
n
1
un sistema inercial de origen O y determinadas por los vectores r , r , ..., r y en dicho momento
1
2
n