Page 170 - Fisica General Burbano

180 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS

1 2 1 M v 2 1 2 1 2
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2 Mv + 2 2 2 = 2 Mv¢ + 2 M v¢
Tenemos así, dos ecuaciones que nos permiten determinar las dos incógnitas: v¢ y v¢. Agru-
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pando términos y simplificando:
Mv( 1 - v ) ¢= M v( ¢- v )
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(18)
Mv( 2 1 - ¢ 2 M v( ¢ - v )
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v ) =
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por división, y considerando que la diferencia de cuadrados es suma por diferencia obtenemos:
v + v¢= v 2 + v¢ (19)
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Fig. VIII-8.– Choque elástico en una o bien: v¢– v¢=– (v – v ), es decir, la velocidad relativa de alejamiento de ambas partículas des-
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dimensión. pués del choque, es la misma que la relativa de acercamiento antes de él.
De (19) tenemos: v¢=v +v¢– v , v¢=v +v¢– v , valores que sustituidos en (18) nos dan:
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M v( 1 - v - v¢+ v ) = M ( v¢- v )
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Mv( 1 - v ) ¢= M ( v + v¢- v - v )
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desarrollando, agrupando términos y despejando, las incógnitas v¢y v¢, obtenemos:
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M - M Mv Mv M - M
v ¢=v 1 2 +2 2 2 v ¢= 2 11 -v 1 2 (20)
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M 1 + M 2 M 1 + M 2 2 M 1 + M 2 2 M 1 + M 2
de las que podemos obtener una expresión más simplificada de la forma siguiente: puesto que la
velocidad del CM es
Mv + M v 2
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V = (21)
M + M 2
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operando en (20) se obtiene:
M v - Mv + Mv 2 Mv - M v - M + M ) v
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(
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v ¢= 11 M 2 1 2 2 = 11 M 2 2 + M 1 2 1 Þ v 1 ¢= V -v 1
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+ M
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(22)
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(
2 Mv - Mv +M v 2 Mv + M v - M + M ) v
v ¢= 11 1 2 2 2 = 11 2 2 1 2 2 Þ v ¢= V -v
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M 1 + M 2 M 1 + M 2 2 2
Desde el sistema de referencia CM, el momento lineal tanto antes como después del choque es
nulo. Si llamamos u y u¢, u y u¢ a las velocidades de m y m antes y después del choque res- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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pectivamente, referidas a dicho sistema CM, se verifica que:
v = V + u 1 v¢= V + u¢ (23)
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v = V + u 2 v¢= V + u¢
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y sustituidas en (22), queda:
V + u¢= 2V - V - u 1 Þ u¢=- u 1
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V + u¢= 2V - V - u 2 Þ u¢=- u 2
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lo que indica que en un choque elástico, respecto del CM las partículas cambian exclusivamente el
sentido del movimiento.
Como casos particulares del choque perfectamente elástico pueden citarse:
A) Si M =M , en (21) se tiene V =(v +v )/2 y en consecuencia v¢=v 2 y v¢=v , con lo
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que en una colisión elástica frontal entre dos cuerpos iguales, éstos intercambian sus velocidades.
B) Si M ? M el valor de la velocidad del CM será:
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Mv
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Mv +M v M +v 2
V = 11 2 2 = 2 ; v
M 1 +M 2 M 1 +1 2
M 2
y si además v =0, se cumple V ; 0 y v¢=–v , v¢=0, es decir, si un cuerpo choca elástica-
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mente con otro en reposo y de masa mucho mayor que la suya, sale rebotado con la misma velo-
cidad pero de sentido contrario.