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PESO. CENTRO DE GRAVEDAD 119

VI – 2. Centro de gravedad (CG)
Supongamos un cuerpo sometido al campo gravitatorio terrestre; cada una de las partículas
del cuerpo está solicitada por una fuerza vertical y hacia abajo de valor m g (m =masa de la
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partícula; g =intensidad de la gravedad). Siendo los pesos de las partículas fuerzas paralelas*,
la resultante de componerlas (primero dos a dos, las resultantes entre sí, etc.) es una fuerza de
valor: P =m g +m g +m g +... =(m +m +m +...) g =Mg, siendo M la masa total del
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cuerpo.
La dirección del peso es, pues, paralela a las componentes. El punto de aplicación está situado
en la vertical V, que coincide con la dirección de P. Si consideramos el mismo problema, con el
cuerpo en otra posición, el punto de aplicación del peso (de módulo, dirección y sentido idénticos
al anterior), estará en la vertical V¢. Cualquiera que sea el número de posiciones que considere- Fig. VI-3.– Centro de gravedad de un
mos, todas las verticales, V, V¢, V¢¢, que coincide con la del peso en cada caso, se cortan en un sólido.
punto que es el CG.
El centro de gravedad de una figura homogénea y geométrica es el centro geométrico; si la fi-
gura tiene un eje o plano de simetría en él está localizado el centro de gravedad.
El cálculo que nos conduce a la expresión analítica de la posición del CG para cualquier cuer-
po, es: imaginemos en un cuerpo cualquiera dos partículas A y C (Fig. VI-4) de masas m y m ; el
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peso de cada una de ellas queda representado por las fuerzas m g y m g. Al componer tales fuer-
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MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
zas paralelas obtenemos la fuerza (m +m ) g, aplicada al punto B (o a uno cualquiera de la ver-
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tical que pasa por él) cumpliéndose: m g/m g =BC/AB.
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Proyectamos ABC sobre el plano XY, obteniendo A¢B¢C¢y, a su vez, proyectemos este seg-
mento sobre el eje X, obteniendo A¢¢B¢¢C¢¢. La igualdad anterior se puede escribir:
m 1 BC BC BC x - x 2
¢¢
¢¢ ¢¢
=
m 2 = AB = AB ¢¢ AB = x - x
¢¢ ¢¢
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m x - m x = mx - mx 2 Þ m x 1 + mx 2 = x m( 1 m + ) Þ x = mx + m x 2
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m + m 2
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Componiendo la fuerza obtenida con el peso de una tercera partícula y la re-
sultante con el peso de una cuarta partícula, etc., hasta componer todos los pe-
sos de todas las partículas, obtendríamos:
n n
å mx i å mx i
i
i
i =1 i =1
x = n = M
G
å m i
i =1
siendo M la masa total del cuerpo. Repitiendo el mismo razonamiento para los
ejes Y y Z, los valores de las coordenadas del centro de gravedad son:
n n
å my å mz
ii
ii
i =1 i =1
y = z =
G
G
M M
Llegamos al mismo resultado teniendo en cuenta que en cada punto del sis-
tema actúa una fuerza F =m g y todas ellas son paralelas entre sí, sabemos
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que existe un punto que llamamos centro de vectores paralelos (II-28) cuyas co- Fig. VI-4.– Coordenadas del centro de gravedad.
ordenadas, después de sustituir v por m g y R por å m g =g å m =Mg coinci-
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den con las obtenidas.
Siendo la partícula un ente ideal sin dimensiones, al aplicar estas fórmulas a un sólido los su-
mandos se hacen infinitos, con lo que los sumatorios se transforman en integrales, y considerando
el cuerpo fraccionado en infinitas partículas elementales de masa dm, las ecuaciones anteriores se
convierten en:
z xdm z ydm z zdm
x = y G = z G =
G
M M M
las integrales que nos aparecen son definidas y están limitadas por las dimensiones del sólido.
En el tema de Dinámica de los sistemas de partículas, estudiaremos un punto privilegiado (en
el cuerpo o fuera de él) llamado CENTRO DE MASA (CM) cuyo concepto es más general que el dado
por CG, puesto que para su definición no será necesaria la existencia de un campo gravitatorio; en
este tema veremos que:
* Consideramos cuerpos de pequeñas dimensiones comparadas con la Tierra.