Page 304 - Física Tippens: Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición Revisada

14.3 Trabajo y energía en el movimiento armónico simple 285

Ahora estamos listos para considerar la conservación de la energía para una masa m que
oscila con MAS, como se muestra en la figura 14.5. Básicamente, en cualquier punto durante
la oscilación, la energía total (E = U + K) es
1 ,9 1 9
E = —kx~ H— mv
2 2
Considere la energía total E en cada uno de los casos siguientes:
1 1 1
En x = ±A : E = —kA2 + —m( O)2 o E = —kA1
2 2 2
1 1 1 9
En x = 0: E = ^k(0)2 + -m v 2máx o E =
1 - 1 9
E nx = x: E = —kx H— mv
2 2
Enseguida, deduciremos una expresión para determinar la velocidad v de una masa que se
mueve con MAS y sin fricción. Como la energía total en cualquier punto es la misma que
se tiene al alcanzar la amplitud, podemos escribir

—kx2 + —mv2 ~ —kA2
2 2 2

Si resolvemos para la velocidad, v, hallaremos que

v = <i4-6)
Observe que para el caso especial en que x = 0, la velocidad es máxima e igual a
r j
A (14.7)

Las ecuaciones (14.6) y (14.7) son útiles en cálculos repetitivos, pero casi siempre es mejor
aplicar solamente la ecuación de conservación (14.5) porque es más fácil recordarla. Puesto
que la energía es una cantidad escalar, no se sabe la dirección de la velocidad a partir de estas
ecuaciones. La raíz cuadrada de un número puede ser positiva o negativa.

Un resorte tiene atada una masa de 0.4 kg que oscila con MAS a lo largo de una superficie
sin fricción, como en la figura 14.5. La constante del resorte es de 20 N /m y la amplitud
de 5 cm. (a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa? (b) ¿Cuál es la velocidad cuando la
masa se halla a una distancia de +3 cm a la derecha de la posición de equilibrio?

Plan: La energía total se conserva, de forma que ambas preguntas pueden responderse
aplicando la ecuación (14.4) para las distancias conocidas. Reconocemos que la velocidad
alcanza su máximo cuando x = 0, ya que la fuerza de restitución siempre ha ido en una
misma dirección para el periodo más grande en ese punto. La velocidad en la posición
x = +3 puede determinarse reconociendo que la energía total en ese punto es igual a la
energía total en cualquier amplitud (\kA2). Es útil organizar los datos antes de resolver
para v.
Dados: A = 0.05 m, x = 0 y +0.03 m, m — 0.4 kg, k — 20 N /m
Solución (a): La velocidad máxima ocurre parax = 0, así que la conservación de la ener­
gía obliga a que