Page 644 - Fisica General Burbano

662 CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS

dm vF? v 2 dm dm vF? vF + v F + v F z (25)
y
y
z
x
x
2
2
dt = c - v 2 - c - v 2 dt Þ dt = c 2 = c 2
1 L vF +v F +v F O
sustituyendo (24) y (25) en (23): F x ¢= g F Vv I N M F x -V x x y 2 y z z P Q
g H - G1 c 2 x J K c
Vv c / 2 Vv c / 2
es decir: F x ¢=F x - y F y - z F z
1 - Vv x 1 - Vv x
c 2 c 2
Para la componente F¢ :
y
L O
(
(
dm v ) F M Vv I v P dt dmv ) F
¢¢ dt d
F ¢ = y = g 1 - G M x J m y 1 -b 2 P = y Þ F ¢ = y
y
dt ¢ dt ¢dt M N H c 2 K 1 - Vv 2 x P Q dt ¢ dt y F H - G g 1 Vv 2 x I J K
c
c
y de forma análoga: F z ¢ = F F z I
g H - G1 Vv 2 x J K
c
Un caso de aplicación de estas expresiones, de especial interés, es el siguiente. Un observador
en reposo respecto de un sistema de cargas eléctricas, sólo mide efectos electrostáticos, que puede
describir mediante la ley de Coulomb. Si otro observador se mueve respecto del primero, verá car-
gas en movimiento, es decir, corrientes eléctricas, y apreciará por tanto la existencia de fuerzas
magnéticas. Estas últimas son «una corrección relativista a la ley de Coulomb».
XXVII – 15. Energía cinética. Relación masa-energía
Definimos la ENERGÍA CINÉTICA de un cuerpo como el trabajo que hay que realizar para pa-
sarlo del reposo a su estado actual de movimiento.
El trabajo realizado por la fuerza neta F que actúa sobre un cuerpo, cuando éste se desplaza
una distancia dr, es:
dmv( )
2
dW = F ? dr = ? v dt =v ? d mv( ) =v v? dm +v ? m dv v dm m +v ? dv
=
dt
m mv ? dv
Por otra parte: m 0 Þ dm= 2 2
1 - b 2 c 1 - b( ) MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
L F v IO
2
2
con lo que dW = M 2 + c 2 G 1 - JP = cdm
dm v
N M H c KP Q
2
2
y por ser c =cte: dW =d(mc )
El trabajo realizado en una trayectoria finita para pasar del reposo con v =0 y masa m , a ve-
0
locidad final v y masa m, es la energía cinética T en la situación final:
zz m
m
2
c
m c
T = dW = d m c( 2 ) T = mc 2 - 0 2 Û T = D m (26)
m 0 m 0
Una primera conclusión de (26): la energía cinética relativista no se expresa como 1/2 m v , sin
2
embargo, se reduce a la expresión clásica cuando ésta es aplicable. En efecto:
L 1 O L 1 O
2
2
2
1
P
N M
T = mc 2 - m c 2 = m c M - P = m c M 1( -b ) - 2 -P 1 Q P
0
0
0
N M 1 -b 2 Q
y desarrollando el paréntesis mediante el binomio de Newton:
F 1 3 I 1 F 3 I
2
2
...
H
H
T = m c G 1 + 2 b 2 + b 4 + J =1... - K 2 m v G 1 + 4 b 2 + J K
0
0
8
con lo que, si v es mucho menor que c, podemos poner T =1/2 m v .
2
0
La expresión (26) indica la interpretación de la energía cinética como función de c y del incre-
mento de masa, y, por ser c una constante universal, deducimos que en general: