Page 643 - Fisica General Burbano

DINÁMICA RELATIVISTA 661

m d v mv dv
y, operando, resulta: F = 0 + 0 v (22)
2 3 2 /
2
1 - b 2 dt c ( 1 - b ) dt
Si se verifica b = 1, el segundo sumando es despreciable frente al primero, y esta expresión se
transforma en:
d v
F =m 0 dt =m 0 a 0
A velocidades relativistas, la fuerza ya no es, en general, paralela a la aceleración, sino que tie-
ne, según (22), una componente en la dirección de dv/dt =a y otra en la de v. Solamente si a es
paralelo o perpendicular a v, la fuerza será proporcional a la aceleración. Lo vemos en los dos ca-
sos particulares de movimiento siguientes;
(I). La partícula posee un movimiento circular uniforme. En este caso se verifica dv/dt =0 y la
expresión (22) queda:
m d v
F = 0 =m a n
1 - b 2 dt
La fuerza y la aceleración son paralelas, pero recordemos que la condición ha sido
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que v =|v| sea constante, o bien, que a y v sean perpendiculares.
Si el movimiento circular no es uniforme no se verifica lo dicho, Fig (XXVII-12).
(II). Partícula con movimiento rectilíneo acelerado. Por ser rectilíneo podemos pres-
cindir en la expresión (22) de la notación vectorial, y poner:
dv mv dv dv 1
F = m + v = m
2
dt c ( 1 - b 2 ) dt dt 1 -b 2
ma
y por ser dv/dt el módulo de la aceleración tangencial: F = t
1 - b 2
En este caso, la fuerza necesaria para comunicarle a un cuerpo una aceleración a t
es mayor que el valor ma , y ello es debido a que, además de aumentar el módulo de
t
la velocidad, aumenta también la masa inercial. Como veremos en la cuestión 15, ese
aumento de masa inercial está íntimamente relacionado con el trabajo realizado por la
fuerza y con la energía del cuerpo.

XXVII – 14. Ecuaciones de transformación de la fuerza
Fig. XXVII-12.– Movimientos circulares uniforme
Vamos a desarrollar las ecuaciones que permiten relacionar las componentes de la (MCU) y no uniforme (MCNU).
fuerza que actúa sobre una partícula, medidas desde dos sistemas inerciales, S y S¢, el
segundo de los cuales se desplaza respecto del primero a velocidad V en el sentido positivo de la
dirección común X y X¢. El principio de relatividad establece que ambas deben tener la misma for-
mulación, así:
d p dm( v) d p¢ dm( v ¢¢ )
F = = y F¢ = =
dt dt dt ¢ dt ¢
donde v es la velocidad de la partícula medida desde S y v¢¢medida desde S¢.
Calculamos las componentes F¢ , F¢, F¢de F¢¢. De la expresión (20), las relaciones de transfor-
y
x
z
mación de velocidades, y recordando que hemos llamado b =Vc/ y g = /11 - b 2 podemos
poner:
L O
(
V
d d F M Vv I v - P dt d dt Ldmv ) dm O dt
G M
K
H
x
x
)
F x ¢= dt ¢ ( mv ) dt M N g 1 - J m 1 - Vv 2 x P P Q dt ¢ dt v ( g x -V m dt ¢ = g M N dt x -V dt P Q dt ¢
=
¢¢ =
x
2
c
c
F dm I dt
así que, por ahora: F x ¢= g G H F x -V dt J K dt ¢ (23)
2
En las ecuaciones de Lorentz: t¢=g (t – Vx/c ), por tanto:
dt
dt¢ = G F H dt - Vd xI J Þ dt¢ F 1 Vv I
c K
g
=
2
x
g H - G1 c K J (24)
2
2
Por otro lado, teniendo en cuenta que d(v ) =d(v · v) =2v · dv, tendremos:
dm m v dv v F G m d I v J v M d L p -v dmO P v L M F -v dmO P
0
?
2
2
2
2
2
dt = c 1 ( -b 2 3 2 / ? dt = c 1 ( - H dtK = c - v 2 ? N dt dt Q = c - v 2 ? N dt Q Þ
)
)
b