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666 CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS
dor que se desplaza respecto del primero a la velocidad de 0,7c en la miento relativo. Calcular el valor de la velocidad V de S¢respecto de S si
dirección común XX¢? éste ve el rayo: 1) Inclinado 45° respecto de la dirección del movimien-
to. 2) Paralelo a dicha dirección.
21. Dos cohetes espaciales se cruzan en un punto P. Sus velocida-
des respecto de un observador exterior a ambos en P, son v = ac y
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v =bc. Un tiempo T después en el reloj del primer cohete, y desde dos
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puntos de éste distantes L metros, se emiten dos señales luminosas si-
multáneas, calcular: 1) Las indicaciones de un reloj en P, sincronizado
con los de los cohetes al cruzarse, cuando recibe cada señal. 2) Las indi-
caciones respectivas del reloj del segundo cohete. Aplicación: a =b =0,75,
T =60 s, L =150 m.
22. Obtener la relación de transformación de la componente de la
aceleración en la dirección del movimiento relativo de los sistema de re-
ferencia inerciales, S y S¢, que se mueven con velocidad relativa V.
Problema XXVII-7. Problema XXVII-8. B) DINÁMICA RELATIVISTA
10. En un sistema S dos sucesos ocurren en x , t y en x , t , respec- 23. El poder calorífico del coke metalúrgico es de 29,1 MJ/kg.
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tivamente. Para un sistema S¢, que se mueve respecto de S a velocidad V Comparar la energía calorífica producida en la combustión de un gra-
en la dirección del eje OX, los dos sucesos son simultáneos. Calcular la ve- mo de ese carbón, con su energía en reposo.
locidad V en función de las coordenadas de los sucesos en S. 24. En la madrugada del 17 de enero de 1991, los EEUU de Nor-
11. En un sistema de referencia S, un suceso tiene lugar en el pun- teamérica lanzaron sobre Iraq y Kuwait, en la operación llamada «tor-
to P (x , y , z , t ) =(l, 0, 0, l/c). Otro suceso simultáneo ocurre en P 2 menta del desierto», 18 000 toneladas de explosivos. Si un kilogramo de
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(x , y , z , t ) = (l, 0, 0, l/c). Si el sistema S¢se desplaza respecto de S TNT líbera al explotar aproximadamente 4 millones de julios, calcular la
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con V =0,8 c en la dirección del eje común XX¢: 1) Calcular las coor- masa que debería convertirse en energía para producir el mismo núme-
denadas de ambos sucesos medidad desde S¢. 2) Calcular en ambos ro de julios.
sistemas el intervalo entre ambos sucesos. 25. Calcular la velocidad de un sistema, con respecto a nosotros,
12. Un sistema de referencia S¢se desplaza con velocidad V cons- para que la masa de los cuerpos situados en él se nos duplique. ¿Qué
tante, respecto de otro S, en la dirección común XX¢. Un observador li- longitud adquirirán los cuerpos medida desde nuestro sistema en la di-
gado a S describe el movimiento de dos partículas mediante los vectores rección del movimiento? ¿Qué fenómeno se presentaría en la medida
de posición: r =(y +ut) j y r =x i +(y +ut) j. 1) Obtener las ecua- tiempo?
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ciones de movimiento y la de la trayectoria de ambas partículas medi- 26. La masa de un electrón en reposo es m 0 =9,109 ´10 28 g, cal-
das desde S¢. 2) ¿En qué instantes atravesarán las partículas el plano y cular: 1) La masa del electrón a 210 000 km/s. 2) Su energía total. 3)
=2y , según ambos observadores? La energía debida a su masa. 4) Su energía cinética.
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13. Un foco luminoso ligado a un sistema de referencia S, emite un 27. Calcular la velocidad hasta la que se debe acelerar una partícu-
rayo de luz en una dirección del plano XY que forma un ángulo q con el la para que su energía cinética sea el 10 % de su energía en reposo.
eje OX. 1) Deducir la expresión del seno y del coseno del ángulo q¢ 28. ¿En qué porcentaje aumenta la masa del agua al calentarla de
que medirá un observador que se desplaza con velocidad V, en la direc- 0° C a 100° C? Calor específico =1 cal/g · K.
ción OX = O¢X¢, respecto de S. 2) En el caso particular de q = p/3 y 29. Un acelerador electrostático es un aparato en el que se aceleran
V =0¢5c, escribir la ecuación de la trayectoria del rayo en S¢y verificar partículas de carga q, mediante una diferencia de potencial V, comunicán-
que, efectivamente, la luz se aleja de O¢a velocidad c. doles una energía cinética dada por el producto qV. En uno de tales apa-
14. Una fuente luminosa emite un haz de luz monocromática de ratos, un electrón parte del reposo y es acelerado por una diferencia de
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frecuencia n. Calcular la frecuencia n¢medida por un observador que se potencial de 3 ´10 voltios. Calcular, clásica y relativistamente, su veloci-
desplaza respecto de la fuente con velocidad V en la dirección del haz. dad final. Para el electrón: m =9,1 ´10 31 kg, | q | =1,602 ´10 19 C.
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(Efecto Doppler). 30 En el acelerador del problema anterior se introducen partículas MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
15. Una nave espacial viaja en una trayectoria recta que pasa por alfa y protones. La carga de una partícula alfa es el doble de la del
las proximidades de la Tierra. Emite un señal que cuando se acerca se protón, y su masa en reposo la consideraremos como cuatro veces la del
percibe a 100 MHz, y cuando ha pasado y se aleja se recibe a 50 MHz. protón. Acelerando ambas partículas se puede variar la proporción 4:1
Calcular: 1) La frecuencia de la emisión medida en la nave. 2) La velo- de sus masas. 1) ¿Entre qué valores puede variarse esa proporción?
cidad de ésta respecto de la Tierra. 2) ¿Qué potencial es necesario para reducir la relación entre masas a
16. Un astrónomo mide en un espectrómetro la longitud de onda 7:2? Para el protón: m =1,67 ´10 27 kg, | q | =1,602 ´10 19 C.
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de una de las rayas del espectro de emisión del hidrógeno, y encuentra 31. Un sincrotón es un acelerador de partículas en el que éstas des-
que la que proviene de una estrella está desplazada hacia el rojo un criben círculos de radio constante. En uno de ellos, cuando los protones
10 % respecto de la que obtiene de una fuente en el laboratorio. Calcu- tienen una energía de 10 GeV, la fuerza centrípeta, proporcionada por
lar la velocidad de la estrella respecto de la Tierra. (Efecto Doppler). un campo magnético, necesaria para mantenerlos en trayectoria circular
17. Un haz de luz monocromática de frecuencia n , se refleja en un es de 5 ´10 11 N. Siendo la masa en reposo del protón de 1,67 ´10 27
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espejo que viaja a velocidad V en la dirección del haz. Calcular la fre- kg, calcular el radio de la trayectoria de los protones.
cuencia n del haz reflejado. ¿En qué condiciones es ésta mayor, menor 32. Una partícula de masa en reposo m penetra, con momento p ,
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o igual que la incidente? (Efecto Doppler). en un campo uniforme que le produce una fuerza F constante y perpen-
18. Calcular la velocidad relativa de dos cuerpos que se mueven dicular a p . Calcular la ecuación de la trayectoria que describe y com-
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en direcciones paralelas con velocidades v y v respecto de un sistema probar que dicha trayectoria se reduce a una parábola cuando v es mu-
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que consideremos fijo, en los dos casos siguientes: 1) v =2 ´ 10 km/s, cho menor que c.
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v =2 ´10 km/s 2) v =2 ´10 km/s , v = 2 ´10 km/s 3) ¿Para 33. Una partícula en reposo se DESINTEGRA en un pión, de masa en
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qué valores de v y v , con |v | = |v |, la suma de velocidades difiere reposo 2,5 ´10 28 kg, y un protón, cuya masa en reposo es 1,7 ´10 27
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en un 1% del cálculo relativista? kg y que sale con una energía cinética de 3,2 ´10 13 J. Calcular la masa
19. Tres naves interestelares viajan en el mismo sentido de direc- de la partícula original.
ciones paralelas. Las tres llevan pintadas las siglas UE en tamaño de 34. Un pión positivo en reposo se DESINTEGRA en un muón positivo
+
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2 ´2 m cada letra, vistas desde el propio vehículo. Uno de ellos, el A,es y un neutrino: p ® m +n. Siendo las energías en reposo del pión y
adelantado por los otros, por el B con velocidad v = 0,3 c y por el C muón de 140 MeV y de 106 MeV, respectivamente, calcular, para el
B
con velocidad, v =0,6 c, ambas respecto de A. Calcular la anchura que muón resultante, su energía total, velocidad y energía cinética.
C
medirá cada piloto de las letras de las otras naves. 35. Se tiene un sistema de dos partículas idénticas, de masa en re-
20. Desde un sistema S¢que se desplaza a velocidad V respecto de poso m 0 . En el sistema de referencia S la primera posee una velocidad u
otro S, se emite un rayo de luz en dirección perpendicular a la del movi- en el sentido OX positivo, y la segunda está en reposo. 1) Calcular la
