Page 507 - Fisica General Burbano

ENERGÍA MAGNÉTICA. DESCARGA OSCILANTE DE UN CONDENSADOR 521

dI 1 dI 2 L + L - 2 M e
2
1
dt + dt = - LL - M 2
1
2
y como I =I +I 2 Þ dI/dt =dI /dt +dI /dt, entonces:
2
2
1
dI L + L -2 M e =- e LL - M 2
1
1
2
2
1
dt =- LL - M 2 L Þ L = L + L -2 M
1
1
2
2
siendo L el valor de la inducción equivalente. Obsérvese que los cálculos serán diferentes si se in-
vierte el sentido de arrollamiento de una de las bobinas, tal y como se hacía en el acoplamiento en Fig. XXII-22.– Autoinducciones en
serie con influencia de la inducción mutua; dejamos como ejercicio para el lector, el cálculo de la paralelo.
inducción equivalente para este caso.
PROBLEMAS:31 al 39.
C) ENERGÍA MAGNÉTICA. DESCARGA OSCILANTE DE UN CONDENSADOR
XXII – 11. Energía almacenada en el campo magnético
Una deducción formal de la expresión de la energía del campo magnético se sale de las pre-
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tensiones de este texto, con lo que procederemos de la misma forma que hacíamos en el párrafo
XIX-17, en el que se obtenía el valor de la energía de la unidad de volumen del campo electrostá-
tico a partir del existente entre las armaduras de un condensador plano y luego advertíamos que la
expresión obtenida era general para cualquier campo.
El modelo que tomamos es el de un solenoide en un circuito RL como el de la Fig. XXII-15, al Fig. XXII-23.– Influencia de la induc-
que suponemos lo suficientemente largo para considerar nulo el campo en el exterior de él; al ce- ción mutua.
rrar el interruptor que lo conecta con una batería, habremos de considerar la FEM de ésta y la de
autoinducción de aquél; la energía suministrada por la batería se transforma en parte en calor en
la resistencia (efecto Joule) y el resto de la energía del generador se almacena en la bobina. La
aplicación de la ley de Ohm al circuito, conduce a:
dI dI
2
2
e -L =IR Þ e =I R + L I Þ e Idt = I R dt + L IdI
I
dt dt
El primer miembro de esta ecuación representa la energía suministrada por el generador en el
2
tiempo dt, la cual se distribuye en una producción de calor en el circuito (I Rdt) y en energía lo-
calizada en el interior del solenoide correspondiente al campo magnético que en él se crea (LI dI),
expresión que integrada entre los límites 0 e I (I =intensidad final que adquiere el circuito), nos
dará la energía del campo magnético almacenada en el interior del solenoide:
z I 1
U = 0 L I dI = 2 L I 2

esta energía es la que hace que al eliminarse la FEM del circuito (al abrir el interruptor S del circui-
to RL de la Fig. XXII-15), no se anule inmediatamente la corriente, transformándose en calor al
ser cedida a la resistencia.
El flujo que atraviesa a un solenoide de n espiras es: f =LI =B A n
ya que B A es el flujo a través de cada una de sus espiras; sustituyendo el valor de LI en la ante-
rior obtenemos:
1
U = U = B A n I
2
In Bl
El campo en el interior es: B = m Þ I =
0
l m 0 n
2
2
1 BA l 1 B v
que sustituida en el último valor de U, nos da: U = =
2 m 0 2 m 0
ya que Al es el volumen del solenoide.
U 1 B 2
La ENERGÍA LOCALIZADA EN LA UNIDAD DE VOLUMEN será: u = Þ u =
v 2 m 0
fórmula completamente independiente de las características del solenoide y que, por tanto, pode-
mos generalizar para todo campo magnético. Si es el caso de materiales magnéticos homogéneos
e isotropos, en los que la permeabilidad magnética es m entonces:
dU 1 B 2
u = =
dv 2 m