Page 274 - Fisica General Burbano

ELASTICIDAD 285

F D l¢ I 2 F D l¢ I
H
l¢K
H
A
A +D A = G1 + J = AG1 +2 l¢K J
las variaciones relativas Dl/l, normalmente tienen valores muy pequeños, del orden de 10 , por
–3
ello podemos, en primera aproximación despreciar sus cuadrados. Así en la expresión anterior
2
(Dl¢/l¢) = Dl¢/l¢,obteniéndose en definitiva:
DA = 2 Dl¢ =-2 s p
A l¢ E (3)
3
Un cm de la sustancia, considerando una de sus aristas en la dirección de la tracción, se habrá
transformado en:
F Dl I F Dl ¢ I 2
¢K
H 1 + G l K H 1 J G + J
l
3
el volumen final de V cm será:
F D lI F D l¢ I 2 F D lI F D l¢ I l F D l¢ I
D
l¢K
l K H
H
H
l K H
V
V
V +D V = G 1 + J G 1 + J = V G 1 + J G 1 + 2 l¢K J = V + G l H +2 l¢K J
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hemos despreciado en los desarrollos (Dl¢/l¢) y 2Dl¢/l · Dl¢/l¢. De la anterior obtenemos:
2
DV Dl 2 Dl¢ p p DV 1 -2s p (4)
V = l + l¢ = E -2s E Þ V = E
Las expresiones (1), (2), (3) y (4) nos indican la proporcionalidad de las variaciones relativas de
l, l¢, A y V con la fuerza que actúa sobre cada unidad de sección o esfuerzo de tracción.
Teniendo en cuenta que en la tracción de un cuerpo, su volumen aumenta entonces DV es
siempre positivo, luego:
1
1 - 2s > 0 Þ s <
2
XIII – 4. Compresibilidad
COMPRESIBILIDAD es el fenómeno de disminución del volumen de un cuerpo al aplicar a su
superficie externa, presiones hacia el interior del cuerpo.
Si las presiones son iguales en todas las direcciones, la variación relativa de volumen queda
determinada por:
DV 1 p
V = B (5)

B: MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD de la sustancia, que se mide en dyn/cm (CGS), N/m (SI) y en kp/m 2
2
2
(TÉCNICO). El valor de B para los gases es enorme en comparación con el que corresponde a líqui-
dos y sólidos.
Los módulos de Young, de Poisson y compresibilidad, quedan ligados por la expresión:
E = 3 B 1( -2 )s (6)

Para la demostración de las fórmulas anteriores, supongamos a un cuerpo sometido a una
compresión uniforme p (por ejemplo, lo tenemos sumergido en un fluido), al que podemos imagi-
nar dividido en paralelepípedos de aristas a, b y c, sobre cada cara actuarán fuerzas normales de
comprensión. La variación de longitud de cualquier arista, la de a por ejemplo, es debida a dos
causas:
1) Una disminución de longitud debida a las presiones que actúan sobre las caras paralelas al
plano YZ en la Fig. XIII-5 (COMPRENSIÓN UNILATERAL); el valor de esta disminución por unidad de
longitud es: p/E.
2) Un alargamiento de longitud debida a las compresiones de los otros dos pares de caras
(CONTRACCIÓN de signo negativo); el valor de este aumento por unidad es: 2s p/E.
Luego la arista de longitud inicial a tendrá una longitud:
L 2s 1 O L 2s - O
1
P M
M
a 1
N
a +D a = a 1 + E p - E Q N + E p P Q
p =
Razonando de la misma forma con las otras dos aristas obtendremos: Fig. XIII-5.– Compresibilidad.