Page 276 - Fisica General Burbano
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ELASTICIDAD 287
j j Dl D l
tag ~ = Þ j = 2
-
2 2 l l
teniendo en cuenta (7), se obtiene:
1 + s 1
j = 2 p = p
E G
donde G =E/2(1 +s), como queríamos demostrar.
XIII 6. Elasticidad por torsión
Fig. XIII-10. El ángulo j mide la ci-
TORSIÓN es la deformación producida a un cuerpo causada por un par de fuerzas sin que zalladura.
varíe el volumen.
Si a una barra cilíndrica (Fig. XIII-11) de longitud l y radio R, fija por un extremo, le aplicamos
un par de fuerzas de momento N, la deformación viene medida por lo que llamaremos ÁNGULO DE
TORSIÓN (a) y su valor es:
1 2l
a = N
G p R 4
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en la que G es el módulo de cizalladura de la sustancia estudiado en el párrafo anterior.
En efecto: en la barra cilíndrica de la Fig. XIII-11, al ser aplicado al extremo libre el par de fuer-
zas de momento N, se «retuerce» de tal forma que el extremo de A de la generatriz BA se sitúa en
A¢. El ángulo AOA¢nos mide la torsión.
Considerando un elemento de volumen de la barra comprendido entre dos cilindros concéntri-
cos de radios r y r +dr (Fig. XIII-12), al desarrollarlo nos da una figura prismática de la forma ex-
presada en la Fig. XIII-13. La deformación producida es equivalente a una cizalladura de ángulo
j, cuyo valor es:
1 dF
j = Þ dF = j G d A
G dA
a r
siendo: dA =2 p rdr, y con suficiente aproximación: j =tg j = ; el momento de dF respecto Fig. XIII-11. Torsión.
al eje del cilindro será: l
r a 2 p G a 3
dN = r d F = r Gd A =j r G p2 r dr Þ d N = rdr
l l
luego el valor del momento total es:
l z R 1 l 2
2p G a 3 p G a 4
N = 0 rdr = l 2 R Þ a = G N p R 4 (8)
como queríamos demostrar. Llamando D al diámetro del cilindro, esta expresión la podemos escribir:
32 1 1 l 1
a = N = N = N Þ N = K a
p G D 4 g D 4 K
en la que K la llamamos módulo de rigidez, siendo:
D 4 p G
K =g g =
l 32
g: COEFICIENTE DE COULOMB, proporcional al módulo de cizalla e independiente de los parámetros
geométricos del sólido. De (8) se obtiene:
N D 4 Fig. XIII-12. Torsión.
= K = g
a l
expresión que nos da las leyes de la torsión que fueron encontradas por Coulomb experimental-
mente y que dicen:
1. El par de torsión es proporcional al ángulo girado.
2. La relación entre el par de torsión y el ángulo girado es directamente proporcional a la cuarta
potencia del diámetro e inversamente proporcional a la longitud.
Teniendo en cuenta la primera ley y las conclusiones obtenidas en el párrafo X-13 para el osci-
lador armónico de rotación; si de un hilo resistente a la torsión colgamos un cuerpo y lo giramos,
al dejar el sistema en libertad, el par causante de las oscilaciones de torsión toma el valor:
N =Ka, proporcional y de signo contrario al desplazamiento angular, luego el movimiento será Fig. XIII-13. Deformación de ciza-
vibratorio armónico de rotación de período: lladura.
