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DINÁMICA DE FLUIDOS EN RÉGIMEN DE BERNOUILLI 267
por A es A , el líquido tiene una velocidad v , y está sometido a una presión p y, por tanto, a una
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fuerza: p A .
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ALTURA GEOMÉTRICA (h ) es la altura del punto sobre un plano horizontal arbitrario (X).
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ALTURA PIEZOMÉTRICA (h¢) es la altura de fluido que sería necesaria para producir la presión hi-
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drostática p . Por el teorema general de hidrostática p y h¢vienen ligados por la ecuación:
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p
h gr
p = ¢ Þ h¢= 1
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r g
ALTURA CINÉTICA (h¢¢) es la altura que sería necesaria para producir, en caída libre, la velocidad
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v . Por consiguiente:
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v 2
v = 2 gh¢¢ Þ h¢¢ = 2 1 g
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La suma de las tres alturas es llamada en ingeniería «CARGA DEL FLUIDO» que se mide en unida-
des de longitud como lo indica la ecuación dimensional de cada término.
XII 27. Teorema de Bernouilli. Presión hidrodinámica
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
El teorema de Bernouilli fue presentado por primera vez por Daniel Bernouilli (1700-1782) en
su obra Hydrodynamica (1738) enunciándose de la siguiente manera:
«En un fluido incompresible y no viscoso en movimiento en régimen estacionario bajo la
acción de la gravedad, la suma de las alturas geométricas, piezométrica y cinética es cons-
tante para los diversos puntos de una línea de corriente».
En efecto: consideremos el tubo de corriente de la Fig. XII-46 limitado por líneas de corriente y
por las secciones A y A , y supongamos que en un tiempo dt se ha trasladado a la posición som-
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breada de la figura. La porción central no habrá experimentado ningún cambio de energía. Las
porciones extremas, de igual volumen, han sufrido los siguientes cambios energéticos:
1. La fuerza p A que actúa sobre la sección A habrá realizado un trabajo, en el tiempo dt, de
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valor: p A dl , siendo dl el camino que se ha trasladado la sección A . También la fuerza que
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actúa sobre la sección A , habrá realizado un trabajo, en el mismo tiempo, igual a: p A dl , el
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signo menos nos indica que la fuerza y el camino recorrido son de sentido contrario.
Siendo dM y dM las masas iguales contenidas y llamando dV al volumen ocupado por ellas,
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se verifica que:
dM =dM 2 Þ rA dl =rA dl 2 Þ A dl =A dl =dV
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Luego el trabajo total realizado por las fuerzas exteriores será:
dW =p dV p dV =(p p ) dV
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2. Las masas dM y dM , experimentan en el tiempo dt una variación de energía potencial,
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cuyo valor es la diferencia de la energía potencial en el estado final (gh dM ) menos la inicial
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(gh dM ), es decir:
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dU =gh rA dl gh rA dl =rg (h h ) dV
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3. La variación de energía cinética al pasar tal masa de fluido de la velocidad inicial v a la fi- Fig. XII-46. Teorema de Bernouilli.
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nal v , será:
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1 2 1 2 1 2 2
dT = r dV v 2 - r dV v 1 = r v ( 2 v - ) dV
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2 2 2
Siendo el trabajo de las fuerzas exteriores igual a la variación total de energía (teorema de la
energía mecánica) se debe verificar:
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dW = dU + dT Þ ( p - p ) dV =r g h( 2 - h dV) + r v ( 2 2 v- ) dV Þ
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1 2 1 2
p dV + r gh dV + 2 r v dV = p dV + r gh dV + r v dV
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Los tres términos del trinomio representan la energía del volumen dV, rgh dV es la energía
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potencial de posición en el campo gravitatorio terrestre, por el hecho de estar la masa dM =rdV
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a una cierta altura (h ) sobre un plano de referencia; rvdV 2/ es la energía cinética que en tal
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posición posee tal masa; p dV es la energía correspondiente al hecho de estar sometido al volu-
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men dV a una presión p . Cuando no hay rozamientos en el movimiento de los líquidos, esta Fig. XII-47. Caída de presión en un
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suma de energías se mantiene constante, como ya hemos deducido matemáticamente en la expre- tubo en el que la sección disminuye,
sión anterior. Dividiendo tal expresión por dV obtenemos: al ser recorrido por un liquido.
