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266 ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE FLUIDOS

y como dV =Adl y v =dl/dt, entonces:
G = Av

que para distintas secciones de una canalización por la que circula un fluido en régimen de Ber-
nouille permanecerá constante.
Una forma general de la ecuación de continuidad como fenómeno local (en cada punto del
fluido), y sin ser necesario considerar al fluido como incompresible, se obtiene de la siguiente ma-
nera: consideremos un volumen elemental, dt =dx dy dz, en el que no existen ni fuentes ni su-
mideros, centrado en P como en la Fig. XII-45 y en el interior de un fluido en movimiento.
Si es v(v ,v ,v ) la velocidad del fluido en P, las componentes según el eje X de la velocidad
y
x
z
sobre las caras A y A serán respectivamente:
2
1
Fig. XII-45.– Volumen elemental de ¶ v dx ¶ v dx
x
x
fluido en movimiento centrado en un v x1 = v x - ¶ x 2 v x 2 v = x + ¶ x 2
punto P.
y la masa que en un tiempo dt entra por la cara A : dm =r v dt A , con lo que:
1
1
x1
1
dm 1 F x G ¶ v dxI J dy dz
x
dt = r H v - x ¶ 2 K
De la misma forma, la masa del fluido que en el tiempo dt sale por la cara A es: dm =r v dt A ,
2
2
x2
2
y por tanto:
dm 2 F x G ¶ v dxI J dy dz
x
dt = r H v + x ¶ 2 K
El aumento con el tiempo de la masa de fluido en el volumen dt debida al flujo en la dirección
del eje X es:
dm F I dm dm v ¶ v ¶
dt H K
G J = dt 1 - dt 2 =-r x ¶ x dx dy dz =- r x ¶ x dt
x
Con un cálculo análogo para las restantes caras de dt se obtiene la variación temporal de la
masa que resulta:
dm L¶r( v ) ¶r( v ) ¶r( v O ) P
M
y
x
z
dt =- N ¶ x + ¶ y + ¶ z Q dt
Por otro lado, la masa contenida en dt en un instante t, es dm =r dt, y si la densidad cambia
con el tiempo las variaciones de la masa y de la densidad vendrán relacionadas por la expresión:
dm ¶r
dt = t ¶ dt MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Igualando las dos expresiones tenemos:
¶r ( v x ) ¶r ( v y ) ¶r ( v z ) ¶r =0 div r ( v ¶r =0
¶x + ¶y + ¶z + ¶t Û ) + ¶t
que es la ECUACIÓN DE CONTINUIDAD para fluidos en movimiento. (En el caso en que dentro del vo-
lumen considerado dt existiera alguna fuente o sumidero esta ecuación sería distinta de cero). Si la
suma de los tres primeros términos es negativa existe un flujo de masa neto hacia el interior del vo-
lumen, en consecuencia la masa en el interior del elemento se «amontona». Para líquidos, que
consideraremos incompresibles, la densidad es constante y la ecuación se reduce a: div v = 0 y
aplicando el teorema de Ostrogradsky-Gauss*:
z v ? d A = div v dt =0
z
A
V
y como en régimen de Bernouilli dA y v son paralelos entonces:
v · dA =d (vA) =0 Þ Av =cte
PROBLEMAS:85 al 88.

XII – 26. Alturas geométricas, piezométrica y cinética. Carga de un fluido
Supongamos un fluido en movimiento y consideremos una porción de él limitada por líneas de
corriente (Fig. XII-46). En un punto A, en el que la sección normal a la línea de corriente que pasa

** Ver párrafo VII-10.