Page 202 - Fisica General Burbano

OSCILACIONES, PÉNDULO FÍSICO Y GIROSCÓPO 213

1 1 1
2
T = ( I + MR ) w 2 = I w 2 + Mv 2
0
0
2 2 2
2
el término 1/2 Mv corresponde al movimiento de la partícula CM con masa M y velocidad v =w R.
Este movimiento puede ser circular en torno a E, como en la figura, rectilíneo si el sólido rueda so-
bre un plano, o de otro tipo según sea la trayectoria del centro instantáneo E.
Si además, todo el sólido tiene una velocidad v perpendicular al plano de la figura, habrá que
D
añadir la correspondiente energía cinética de traslación, de expresión:
1 2 1 2 1 2
T =å m v D = v D å m = M v D
i
i
2 2 2
X – 12. Variación de la energía cinética de un sólido sometido a fuerzas externas
Como en todo sistema de partículas, la variación de la energía cinética es igual al trabajo de
todas las fuerzas que actúan sobre él. En el caso del sólido rígido, el trabajo de las fuerzas interio-
res es cero; en efecto, para el caso de dos de ellas:
dW =F · dr + F · dr =F · d(r – r) =F · dr ij
i
int
ji
ij
j
ij
i
ij
j
y por ser r de módulo constante, dr es perpendicular a r , y por tanto a F , con lo que su pro-
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
ij
ij
ij
ij
ducto escalar es nulo. Extendiendo el razonamiento a todas las parejas de fuerzas interiores, pode-
mos poner para el sólido W =0.
int
La variación de la energía cinética se escribirá:
z B
T - T = W ext = å F ? dr i
i
0
A
Fig. X-14.– Por ser r ij ® constante en
® ® y
«El incremento de energía cinética que experimenta un sólido rígido es igual al trabajo rea- módulo, dr ij ® es perpendicular a r ij
, con lo que su produc-
lizado por las fuerzas exteriores». por tanto a F ij
to escalar es nulo.
Si el único movimiento permitido al sólido es una rotación en torno a un eje, la expresión an-
terior se podrá poner de la forma:
1 1
W = T - T = I w 2 - I w 2
0
ext
2 2 0
donde I es el momento de inercia respecto del eje y w y w, las velocidades angulares inicial y final.
0
Podríamos haber llegado a la expresión anterior por un procedimiento análogo al teorema de las
fuerzas vivas:
dw d =G F 1 I J I B d G H z F 1 2 I 1 2 1 2
2
dW ext = N dj = I da j I = dt dj =w H 2 w K Þ W = A 2 I J =w K 2 I w - 2 I w 0
I dw
ext
PROBLEMAS:71 al 109.
C) OSCILACIONES, PÉNDULO FÍSICO Y GIRÓSCOPO
X – 13. El oscilador armónico de rotación
Consideremos un volante que puede girar en torno a un eje e el cual está sujeto por un muelle
en espiral Fig. X-15. Desplacemos el volante de su posición de equilibrio un ángulo q aplicándole
m
un par de momento N; al soltarlo, actua el par de reacción elástica del muelle cuyo valor para un
desplazamiento angular q es: N =–Kq, siendo K la constante de elasticidad del muelle; el volante
adquiere un MAS angular a un lado y otro de la posición de equilibrio y estaría oscilando indefini-
damente a no ser por los rozamientos que originan una pérdida de energía y, por tanto, una pérdi-
da de amplitud. (El sistema descrito constituye el volante del reloj al que se le restituye la energía
perdida, evitando la pérdida de amplitud, por un mecanismo llamado «escape de áncora»).
Supongamos un modelo ideal análogo al descrito anteriormente y que no tuviera pérdida de
amplitud (no existieran rozamientos), llegaremos a conclusiones análogas a las obtenidas en el pá-
rrafo VI-8. Si aplicamos la segunda ecuación del movimiento:
2
2
2
d q d q d q 2
I
N = a Þ - K q I = Þ I + K q =0 Û +wq =0
dt 2 dt 2 dt 2
Fig. X-15.– Oscilador armónico de
con w =K/I, ecuación diferencial de solución: rotación.
2