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212 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

z j 2
W = N dj
j 1
y si N es constante: W =NDj.
La POTENCIA MECÁNICA tomará el valor:
dW Ndj
P = = = Nw
dt dt
fórmula que relaciona la potencia con la velocidad angular instantánea del móvil.

X – 10. Energía cinética de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo
Consideremos un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo y que en un instante determinado
posee una velocidad angular w. La energía cinética del sistema será:

1 2
T =å m v i
i
2
expresión que para un sistema continuo de partículas (un sólido), toma la forma:

1 z 2
T = v dm
2 V
estando la integral extendida a todo el volumen del sólido. Según sabemos, la relación entre la ve-
locidad v de un elemento de masa dm con la velocidad angular de todo el sólido es: v =wR, don-
de R es la distancia de dm al eje de giro; sustituyendo nos quedará:

1 z 2 2 1 2 z 2
T = w R dm = w R dm
2 V 2 V
y teniendo en cuenta la definición de momento de inercia del sólido respecto al eje, concluimos:

1 2
T = I w (8)
2

X – 11. Energía cinética en el movimiento general de un sólido rígido MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Hemos visto en la cinemática del sólido rígido que el movimiento más general de éste puede
describirse como la combinación de una rotación en torno a un eje instantáneo y de un desliza-
miento a lo largo de dicho eje. Prescindimos por ahora del mencionado deslizamiento. Si nos que-
damos con la rotación instantánea, la energía cinética vendrá dada por la expresión obtenida en el
párrafo anterior. Ahora bien, en el caso de que el eje instantáneo no pase por el centro de masas
podemos desglosar la energía cinética en dos términos; aplicando el teorema de Steiner:

1 2 1 2 2
T = I w = I ( 0 + Mr ) w
2 2
donde I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al de giro y que pasa por el CM, que
0
se encuentra a una distancia r de él. La velocidad del CM es v =wr, con lo que:
1 2 1 2 2 1 2 1 2
T = I w + Mr w Þ T = Mv + I w
0
0
2 2 2 2
Así pues, se puede describir la energía cinética del sólido como la de una rotación pura en tor-
no al eje instantáneo, o bien, como la suma de la energía cinética del centro de masas más la de
una rotación, respecto de un eje que pasa por el centro de masas, de velocidad angular igual a la
del sólido en torno al eje instantáneo.
Si además el sólido desliza con velocidad v a lo largo del eje, a la expresión anterior habrá
D
2
2
que añadirle el término Mv /.
D
Supongamos, por ejemplo, un sólido que gira con un punto fijo como en la Fig. X-13, consideran-
2
Fig. X-13.– Movimiento de un sólido do el movimiento como una rotación pura en torno a un eje que pasa por E pondremos T =I w /2,
E
en torno a un eje que pasa por E. que podemos transformar en: