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ANÁLISIS GENERAL 209

MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SÓLIDOS HOMOGÉNEOS

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PROBLEMAS:1 al 47.

X – 7. Dinámica del movimiento del sólido rígido con un punto fijo
En este movimiento el sólido tiene un punto fijo de velocidad nula y del vector v =v(t) varían
sus tres atributos (módulo, dirección y sentido). Eligiendo el punto P como fijo, la velocidad en un
instante determinado de cualquier partícula de masa dm, que diste r del punto P, vendrá dada
según (1) por: v =v ´r, en la que v es la misma para todas las partículas que constituyen el sóli-
do en el instante que consideramos. El valor del MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RESPECTO DE P en
ese instante determinado, vendrá dado por:
z z
v
J = V r ´ dm = r ´(v r ´ dm)
V
por la propiedad del doble producto vectorial vista en II-17, podemos poner:
2
r ´(v ´r) =(r · r) v – (r · v)r =r v – r(r · v)
sustituyendo nos quedará:
z z z
2
2
J = V r v - r r v( ? dm Þ J =v V r dm - V r r v( ? ) dm
Supongamos que las componentes coordenadas del vector velocidad angular instantánea son
w , w y w y que las del vector de posición de la partícula dm son x, y, z. El valor del producto es-
y
x
z
calar de estos dos vectores será: r · v =x w +y w +z w que sustituida en la anterior, nos quedará:
y
z
x
zz
2
x
J =v V rdm - ( w x +y w y +z w z ) r dm
V
cuyas componentes coordenadas son: