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208 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

De la definición de MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO RÍGIDO RESPECTO A UN EJE, las fórmulas
que nos determinan los valores de los momentos de inercia del sólido con respecto a los ejes de
coordenadas serán:
z z z

2
2
2
2
I xx = ( y + ) dm I yy = V x ( 2 z + ) dm I zz =( x 2 y+ ) dm
z
V
V
y para el caso de que el sólido sea discreto:
2
2
2
m x(
I xx =å m y +( i 2 z ) I yy å m x( 2 i z + ) I zz = å i i 2 y+ )
i
i
i
i
i
1. TEOREMA
«El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un punto, es igual a la semisuma de los
momentos de inercia con respecto a los tres ejes perpendiculares que pasan por tal punto».
En efecto:
z
2
I xx + I yy I + zz = z V y ( 2 z + ) dm +( x 2 z+ ) dm +
2
z z c.q.d.
V
2
2
2
y
+ ( x + ) dm = 2 V x ( 2 y + 2 z + ) dm I = 2 O
V
2. Teorema
«El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un punto es igual a la suma de los
momentos de inercia con respecto a un plano y a un eje perpendicular a él que pasan por
dicho punto».
En efecto, la expresión:
z
2
2
2
I = ( x + y + ) dm
z
O
la podemos escribir: V
z
2
2
2
I = ( x + ) dm + z V z dm = I zz I + xy
y
O
z
V
2
2
2
z
I = ( y + ) dm + z V x dm = I xx I + zy
O
z
V
2
2
2
z
I = ( x + ) dm + z V y dm = I yy I + xz
O
V
como queríamos demostrar. MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
3. TEOREMA
«El momento de inercia respecto a un eje es igual a la suma de los momentos respecto a
dos planos perpendiculares que se cortan en el eje.»
En efecto:
2
2
2
y dm = (
z dm +
I + I xz = zz z V z 2 y + ) dm I= xx
xy
V
V
4. TEOREMA
«El momento de inercia de un cuerpo respecto de un punto es igual a la suma de los mo-
mentos respecto de tres planos perpendiculares que contienen al punto.»
En efecto, sean los planos coordenados:
zz z z
2
2
2
2
2
I + I xz I + yz = V z dm + V y dm + V x dm =( x 2 y+ z+) dm I = c.q.d.
xy
O
V