Page 199 - Fisica General Burbano

210 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
zz

2
J =w x V r dm - ( x w x y + w y z + w ) x dm
z
x
V
2
r dm - (
J =w y zz V x w x y + w y z + w ) y dm
y
z
zz
V
2
J =w z V r dm - ( x w x y + w y z + w ) z dm
z
z
V
desarrollando y agrupando términos:
2
J = w x z V r ( 2 - x ) dm -w y z V xy dm -w z z V xz dm
x
z z z
2
J =-w x V yx dm +w y V r ( 2 y - ) dm -w z V yz dm
y
2
J =-w x z V zx dm -w y z V zy dm +w z z V r ( 2 - z ) dm
z
a los coeficientes de w , w y w se les llaman COEFICIENTES DE INERCIA y toman el valor:
x
y
z
z z
2
2
I xx = ( r - ) dm I xy = I yx = - V xy dm
x
z
V
2
2
y
I yy = ( r - ) dm I xz = I zx = - z V xz dm
z z
V
2
2
z
I = ( r - ) dm I yz = I zy = - V yz dm
zz
V
con esta notación, las componentes del momento angular quedan
J =I w +I w +I w z
x
xz
xy
y
x
xx
J =I w +I w +I w z (6)
yx
yy
yz
x
y
y
J =I w +I w +I w z
x
zz
zx
zy
y
z
2
2
2
2
como r =x + y + z , los valores de I , I , e I serán:
xx
zz
yy
z z z
2
2
2
2
I xx = ( y + ) dm I yy = V x ( 2 z + ) dm I zz =( x 2 y+ ) dm
z
V
V
coincidiendo con los ya definidos momentos de inercia del sólido con respecto a los ejes X, Y, Z.
(Obsérvese que I , I , ... no son los mismos que los momentos de inercia del sólido respecto a los
xy
yz
planos XY, YZ...). A los coeficientes I , I , ..., se les denomina PRODUCTOS DE INERCIA. MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
xy
yz
La expresión (6) se puede escribir en forma matricial:
J F I F I I I I F I
w
G J G xx xy xz J G J
x
x
G J I I yx G zx I I zy I K H K Û J = Iv (7)
J
yy J G J
I
w
y =
J G J
G J G
yz
y
J H K H
w
zz
z
z
donde I es el llamado TENSOR DE INERCIA, definido por la matriz 3 ´3 de la relación anterior. Su ex-
presión depende de la distribución de la masa del sólido (de su geometría) y de la elección de ejes
de coordenadas, así, a una elección distinta de ejes, le corresponden otros valores de los coeficien-
tes de inercia, pero el nuevo tensor de inercia relacionará J y v de la misma forma que el anterior,
y esto es así porque el momento angular J correspondiente a una velocidad angular v no depen-
de de la elección de ejes que hagamos.
Las propiedades de las matrices nos permiten afirmar que por ser I una matriz simétrica res-
pecto de la diagonal principal, podemos diagonizarla, es decir, encontrar una matriz en la que los
productos de inercia sean nulos y que defina la misma transformación entre vectores. El sistema de
ejes de coordenadas en que la matriz adopta esta forma es el de los ejes principales de inercia; en
este caso la relación (7) se escribe:
J F I F I 00 I F I
w
G J G x J G J
x
x
G J G I y 0 J G J
= 0
J
w
J G J
G J G
y
y
J H K H 00 I K H K
w
z
z
z
o bien J =I w , J =I w, J =I w . Estos MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES, I , I , I , no tienen en
z
z
x
z
y
z
x
y
y
x
x
general por qué ser iguales, con lo que las componentes de J no serán proporcionales a las de v,
y ambos vectores no serán paralelos; sin embargo, si dos componentes de v son nulas, si que lo