Page 119 - Fisica General Burbano

DINÁMICA DE LAS OSCILACIONES MECÁNICAS 127

K 2m
w = 2 pn = t =
0
0
m R
son respectivamente la FRECUENCIA PROPIA del oscilador (frecuencia de la oscilación no amortigua-
da) y el TIEMPO DE RELAJACIÓN, en función de los cuales se escribe:
2
dx 2 dx 2 0
dt 2 + t dt +w 0 x =
La solución de la anterior ecuación diferencial, es:

x = A e - bt cos t w (4)
0
en la que A es el DESPLAZAMIENTO INICIAL (para t =0 se verifica que: x =A ) y b y w constantes
0
0
que hemos de determinar. Para ello hallemos las derivadas primera y segunda de x con respecto a
t:
dx Ae - bt t +w sen t) (5)
dt =- 0 b (cos w w
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2
dx Abe - bt t +w sen t -) Ae - bt ( b -w sen 2 t) A e - bt b ( 2 -) cos bw sen (6)
2
dt 2 = 0 b ( cos w w 0 t w + cosw w = 0 w t w 2+ t w
Sustituyendo los valores (4), (5) y (6) en (3), obtenemos:
Ae - bt cos w t K -( Rb + mb 2 - mw 2 ) +sen w t ( R-w 2+ mb )w 0=
0
Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores del tiempo, los coeficientes del seno y
del coseno, habrán de ser nulos; del primero obtenemos:

R 1
Rw = 2mb w Þ b = =
2m t
y anulando el coeficiente del coseno, y sustituyendo b por su valor:

R 2 R 2 2 R 2 2 K R 2 2 1
K - + m - mw = 0 Þ K - m - w = 0 Þ w = - = w 0 - (7)
2 m 4 m 2 4 m m 4 m 2 t 2
y la frecuencia del movimiento es:

w 1 K R 2 1 2 1
n = = - = w 0 - (8)
2 p 2 p m 4m 2 2 p t 2
R K K w 2
El valor de b en función de w, es, deducido de la (8): b = = -w 2 =w - 1 = w 0 1 -
2 m m mw 2 w 2
2
y sustituyendo w en el denominador de la fracción, llegamos a:

R 2
b =w 2 = kw (9)
4 Km - R
designando por k al valor de la raíz, llamada ÍNDICE DE AMORTIGUAMIENTO.
Sustituyendo b por su valor, en (5) obtenemos como ecuación del movimiento vibratorio
armónico amortiguado:
x = A e - ktw cos t w
0
Si consideramos, como caso más general, una fase inicial j cualquiera, la ecuación anterior se
transforma en:

x = A e - ktw cos ( w t +j) (10)
0
luego es un movimiento vibratorio cuya amplitud decrece con el tiempo según la ecuación expo-
nencial:
A = A e - ktw
0