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DINÁMICA DE LAS OSCILACIONES MECÁNICAS 125

A K la llamaremos CONSTANTE DEL MUELLE o COEFICIENTE DE RIGIDEZ y también COEFICIENTE ELÁS-
TICO. Su ecuación de dimensiones es [K] =MT – 2 y en el SI se mide en N/m. Una forma práctica
de comprobar esta ley es la que esquematizamos en la Fig. VI-11 que nos representa un resorte de
acero y una regla en la que podemos medir la deformación x, cuando el sistema alcanza el equili-
brio, producida por una fuerza externa, F ext (un peso, por ejemplo, no lo suficientemente grande
como para producir deformaciones permanentes o su ruptura) que expresaremos por F y que será
igual y de sentido contrario a la elástica, pudiéndose escribir: F =Kx. Para otra fuerza F¢si la de-
formación que le corresponde es x¢entonces la ley se expresará: F¢=Kx¢.Tomada una de las
fuerzas como unidad podremos medir la otra ya que: F/F¢=x/x¢.
A los aparatos que se emplean en la medida de fuerzas, tales como el descrito, se les llama DI-
NAMÓMETROS.
Hemos elegido el muelle por su simplicidad en su uso en el laboratorio, pero hay que tener en
cuenta que la fuerza elástica aparece no sólo cuando deformamos un muelle sino cuando defor-
mamos cualquier cuerpo. La ley de Hooke es únicamente válida cuando, siendo el cuerpo elástico,
la deformación no sea lo suficientemente grande como para producirle deformaciones permanen-
tes. La tracción, compresión, flexión y torsión de una barra, obedecen igualmente a la ley de Hoo-
ke. (De estas deformaciones nos ocuparemos en el capítulo de Elasticidad). Fig. VI-11.– Dinamómetro.
PROBLEMA: 78.
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
VI – 8. Dinámica del movimiento armónico simple. Ecuación básica del mas.
Masa unida a un muelle
Consideremos el experimento indicado en la Fig. VI-12 en el que la partícula
(bolita) realiza las oscilaciones en una línea horizontal, después de sacarla de su
posición de equilibrio O y soltarla, bajo la fuerza elástica del muelle en condicio-
nes ideales (no existe amortiguamiento de ningún tipo, es decir: suponemos nulas
las resistencias del aire y de frotamiento con la barra en la que está ensartada la
bolita).
El valor de la fuerza elástica que provoca el movimiento (ley de Hooke) es
proporcional al desplazamiento (x) y de signo contrario a él: F =–Kx, siendo K
la constante recuperadora. Al movimiento provocado por tal fuerza lo hemos lla-
mado MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (MAS).
Sacamos como rasgos más característicos del MAS que:
1) El movimiento es periódico, es decir: en intervalos de tiempo iguales el
móvil adquiere la misma posición y las mismas características de movi-
miento.
2) El movimiento es oscilatorio o de vaivén a ambos lados de una posición Fig. VI-12.– Movimiento vibratorio armónico simple.
central de equilibrio.
3) La máxima separación del cuerpo en su movimiento (amplitud), contada a partir de su po-
sición de equilibrio, es siempre la misma.
Comenzamos el estudio dinámico de este modelo mecánico aplicando la ecuación del movi-
miento:
dx dx
2
2
F = ma Þ - K x = ma = m Þ m + Kx = 0
dt 2 dt 2
que es la ECUACIÓN DIFERENCIAL BÁSICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO. Se suele expresar de la forma:
2
dx 2 0 (1), con: K
dt 2 +w x = w = m
A w se le llama FRECUENCIA ANGULAR (o también FRECUENCIA PROPIA DEL OSCILADOR o PULSACIÓN),
se mide en rad/s, y no depende de las condiciones iniciales del movimiento sino solamente de ca-
racterísticas del oscilador.
La solución de la ecuación (1) es (ver problema III-28):

xt() = A sen (w t +j )

como puede comprobarse simplemente por sustitución. De hecho A y j son dos constantes que
aparecen de la doble integración que hay que realizar para resolver la ecuación (1), y dependen
de las condiciones iniciales del movimiento, que se controlan desde el exterior del sistema.
Como ya se estudió, la pulsación es:

2 p 1 m
w =2 pn = Þ T = =2 p
T n K