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292 CAPÍTULO 7 Teoría cuántica y la estructura electrónica de los átomos

Con este razonamiento, De Broglie llegó a la conclusión de que las ondas se com-
portan como partículas, y éstas exhiben propiedades ondulatorias . Dedujo que las propie-
dades de partícula y de onda se relacionan por medio de la siguiente expresión

Al usar la ecuación (7.8), m debe estar
en kilogramos y u en m/s. h
l 5 ) 8 . 7 (
mu
donde l, m y u son la longitud de onda asociada a una partícula en movimiento , su masa
y velocidad, respectivamente. En la ecuación (7.8) queda implícito que una partícula en
movimiento se trata como si fuera una onda, y esta última puede mostrar las propiedades
de una partícula . Observe que el lado izquierdo de la ecuación (7.8) expresa la propie-
dad de una onda, es decir, su longitud de onda , en tanto que el lado derecho incluye la
masa, una propiedad característica de una partícula .

Ejemplo 7.5
a) Calcule la longitud de onda de la “partícula” en los siguientes dos casos: a) El servicio más
rápido en el tenis es de unas 150 millas por hora o 68 m/s. Calcule la longitud de onda
22
asociada a una pelota de tenis de 6.0 3 10 kg que viaja a esta velocidad. b) Calcule la
longitud de onda asociada a un electrón (9.1094 3 10 231 kg) que se desplaza a 68 m/s.
Estrategia Se nos proporciona la información de la masa y la velocidad de la partícula en
a) y b) y se nos pide calcular la longitud de onda, de manera que necesitamos la ecuación
(7.8). Observe que como las unidades de las constantes de Planck son J s, m y u deben
2
2
expresarse en kg y m/s (1 J 5 1 kg m /s ), respectivamente.
Solución a) Con base en la ecuación (7.8) escribimos
h
l 5
mu
b) 234
6.63 3 10 J ? s
5
Figura 7.13 a) La 22
(6.0 3 10 kg) 3 68 m/s
circunferencia de la órbita es
5 1.6 3 10 234 m
igual a un número entero de
longitudes de onda. Ésta es una
órbita permitida. b) La 210
Comentario Si se considera que el tamaño de un átomo es de alrededor de 1 3 10 m,
circunferencia de la órbita no es
ésta es una longitud de onda sumamente pequeña. Por esta razón, ningún dispositivo de
igual a un número entero de
longitudes de onda. Como medición existente puede detectar las propiedades de onda de una pelota de tenis.
resultado, la onda del electrón no
b) En este caso,
se cierra. Ésta es una órbita no
permitida.
h
l 5
mu
6.63 3 10 234 J ? s
5
(9.1094 3 10 231 kg) 3 68 m/s
25
5 1.1 3 10 m
25
4
Comentario Esta longitud de onda (1.1 3 10 m o 1.1 3 10 nm) se encuentra en la
Problemas similares: 7.40, 7.41. región infrarroja. Este cálculo muestra que sólo los electrones (y otras partículas submicros-
cópicas) tienen longitudes de onda susceptibles de ser medidas.
Ejercicio de práctica Calcule la longitud de onda, en nanómetros, de un átomo de H (de
2
masa 5 1.674 3 10 227 kg) que se mueve a 7.00 3 10 cm/s.