Page 226 - Física Tippens: Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición Revisada

10.7 Gravitación 207

Jí En la figura 10.8, suponga que una pelota de 2 kg tiene una velocidad de 5 m/s cuando al
girar pasa por la parte más alta del círculo cuyo radio es de 80 cm. (a) ¿Cuál es la tensión
en la cuerda en ese instante? (b) ¿Cuál es la mínima rapidez necesaria al pasar por la parte
más alta para que se conserve el movimiento circular?

Plan: Impondremos un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas ejercidas sobre la pelota
en la parte superior de la vuelta (véase la figura 10.8), donde se indicará la dirección de la
aceleración (hacia abajo) como positiva. Luego resolveremos para la tensión incógnita (Tt)
igualando la fuerza resultante a la masa por la aceleración centrípeta. Seguiremos el mismo
procedimiento para hallar la mínima velocidad, tras advertir que la tensión en la cuerda
será igual a cero en ese instante.

Solución (a): En la parte de arriba de la trayectoria, tanto el peso mg como la tensión de
la cuerda se dirigen hacia abajo y hacia el centro del círculo; por tanto, al aplicar la segun­
da ley de Nevvton se obtiene
mv?
mv?
Ti + mg = — o Tx = — - mg
Al sustituir R = 0.80 m, g = 9.8 m/s2, v = 5 m/s y m = 2 kg, queda
(2 kg)(5 m/s)2 ,
T, = -----—------- -- - (2 kg)(9.8 m/s2)
1 (0.80 m) &
= 62.5 N - 19.6 N = 42.9 N
Cabe advertir que la fuerza centrípeta de 62.5 N es la fuerza resultante en todos los puntos
de la trayectoria circular donde la velocidad de la masa es de 5 m/s. En la parte de arriba, el
peso de 19.6 N proporciona parte de esta fuerza necesaria; el resto se origina por la tensión
de la cuerda (42.9 N).

Solución (b): La velocidad crítica v se presenta cuando la tensión de la cuerda disminuye
a cero (Tí = 0) y toda la fuerza centrípeta es proporcionada por el peso mg. En este caso,
mv2
T, + mg = ----- se convierte en mg = -----
mv2
1 5 R b R
Al cancelar la masa que multiplica y divide, y despejar v esta ecuación se simplifica a

vc = \ rgR Velocidad crítica (10.15)

Al sustituir los datos conocidos se determina ahora la velocidad crítica, v
7 c
vc = V(9.8 m/s2)(0.80 m) = 2.80 m/s

si la velocidad en la parte de arriba disminuye a menos de 2.80 m/s, ya no se tendrá la
fuerza necesaria para mantener el movimiento circular y la pelota se convertirá en un
cuerpo en caída libre.

Gravitación
La Tierra y los planetas siguen órbitas casi circulares alrededor del Sol. Newton sugirió que la
fuerza hacia el centro que mantiene el movimiento planetario es tan sólo un ejemplo de la fuer­
za universal llamada gravitación, la cual actúa sobre todas las masas del universo. Él enunció
su tesis en la ley de gravitación universal:

Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente propor­
cional al cuadrado de la distancia que las separa.