Page 94 - Fisica General Burbano

102 FUERZA Y MASA. LAS TRES LEYES DE NEWTON. ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA

el movimiento es además uniforme, y J ¹cte si es variado); además, la velocidad de la partícula
respecto de O tiene componente perpendicular al vector de posición, cuyo módulo de acuerdo
.
con IV-7 (coordenadas polares) es: v = r j . En conclusión, podemos asociar momento angular de
j
la partícula con la idea de vector de posición barriendo ángulos en el tiempo.
Como ya se puede intuir, esta magnitud va a ser de capital importancia en el estudio del movi-
miento de rotación, aunque como acabamos de ver no es privativo de él.
.
En COORDENADAS POLARES, como r =r u y v =r . u +rq u , obtenemos:
r
r
q
. . .
2
J =mr u ´ r( u r +rq u ) Þ J =mr q (3)
q
r
que tiene la dirección perpendicular a u y u .
r
q
V – 15. Segunda ecuación del movimiento de la partícula
Una vez definido el momento angular de una partícula, vamos a estudiar qué magnitudes lo
hacen variar de un instante a otro. Si derivamos J respecto del tiempo, obtenemos:
. d J d ( r ´ p) . . . .
J = = = r ´m v + r ´ p v = m v r+ p´ r = p ´
´
dt dt
el primer sumando de esta expresión es nulo por ser v =dr/dt y p dos vectores paralelos, y el se-
gundo, en virtud del segundo principio de Newton, lo podemos poner de la forma:
.
r ´ p = r ´ F = N
donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula, y N el momento resultante.
Tenemos, en definitiva:

d J .
N = = J
dt
expresión que llamaremos SEGUNDA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA; pudiéndose
enunciar:

«El momento, respecto de un punto, de la fuerza neta que actúa sobre una partícula es
igual a la derivada temporal del momento angular de la partícula, respecto del mismo
punto».

Si derivamos respecto del tiempo la ecuación (2), teniendo en cuenta que el vector O¢O es
constante, obtenemos:
. . .
O O
J ¢ = J + ¢ ´p Þ N ¢ = N + ¢ ´ F MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
O O
y volvemos a tener la expresión ya obtenida en el párrafo V-13 que nos relaciona los momentos de
la fuerza respecto de dos puntos distintos.

V – 16. Velocidad y aceleración areolar
Supongamos que una partícula describe una trayectoria cualquiera y tomemos un punto fijo O
arbitrario. Se define VELOCIDAD AREOLAR:
d A .
V = = A
A
dt
en la que dA tiene de módulo el área barrida por el radio vector que parte de O en el tiempo dt
y tiene la dirección perpendicular a dicha área. De la Fig. V-23, la definición de producto vecto-
rial, y (1):

1 1 1 1 . dA 1
dA = r ´ ( r + dr) = r r ´ + r dr´ r = dr´ Þ A V= = = J (4)
A
2 2 2 2 dt 2 m
y teniendo en cuenta (3) podemos expresar el módulo de este vector en polares:

1 2 .
V = r q (5)
A
2
Fig. V-23.– Área barrida por el radio ACELERACIÓN AREOLAR es un vector axial, límite a que tiende el incremento del vector veloci-
vector en un tiempo dt. dad areolar, dividido por el incremento del tiempo cuando éste tiende a cero.