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CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 191

vector. Por variar el eje y el vector v con el tiempo se les llama EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y VE-
LOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA DE ROTACIÓN.

IX – 3. Movimiento general de un sólido rígido. Ecuación del eje central
De la ecuación (2) y teniendo en cuenta los casos 1) y 3) del párrafo anterior, podemos consi-
derar el movimiento general de una partícula P del sólido como la superposición de dos:

v = v O
1
v = v + v 2
p
1
v =v ´ OP
2
el primero corresponde a un movimiento de traslación con velocidad igual a la de cualquier partí-
cula O del sólido a la que llamaremos VELOCIDAD DE DESLIZAMIENTO y el segundo corresponde a un
movimiento de rotación alrededor de un eje instantáneo, y cuya velocidad angular en ese instante
coincide con la dirección de dicho eje.
Para analizar algunas características del movimiento, es preciso demostrar en primer lugar que
v es independiente del punto O elegido. En efecto: las velocidades de dos puntos P y M serán:
v =v +v ´OP y v M =v +v ´OM.
o
p
o
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Restando ambas expresiones tenemos: v – v M =v ´(OP – OM) =v ´MP, es decir,
p
v =v M +v ´MP, que nos da la velocidad de P con centro de reducción en M y la misma v. El
p
vector v es una invariante del movimiento.
La invarianza de v permite considerar el campo de velocidades de los puntos del sólido, tam-
bién en el caso general de movimiento, como el campo de momentos de un sistema de vectores
de resultante general v y de momento resultante en P igual a v . Todas las propiedades del campo
p
de momentos vistas en el tema II son de aplicación aquí.
Una de ellas, «el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma velocidad (momento) que
uno dado P es una recta que pasa por P y es paralela a v (resultante)»: llamando M a uno de esos
puntos, por ser v =v M , tendremos: v ´OP =v ´OM Þ v ´(OP – OM) =0 Û
p
v ´MP =0, relación que se ha de verificar para todos M y P, y que por tanto equivale a decir
que v y MP son paralelos.
Otra propiedad interesante, «el producto escalar de la velocidad angular v (resultante) por la
velocidad de un punto (momento) es un invariante escalar»: multiplicando v por la velocidad de
un punto cualquiera, tenemos: v · v =v · (v +v ´OP) =v · v +v · (v ´OP), el último su-
p
o
o
mando es nulo por ser sus dos factores perpendiculares, luego v · v =v · v , para todo par de
p
o
puntos P y O.
Y de las dos propiedades citadas obtenemos la más interesante de las que nos proporciona la
igualdad de campos mencionada, la existencia del EJE CENTRAL o el lugar geométrico de los puntos
de velocidad mínima, que para el sólido será el eje instantáneo de rotación y de deslizamiento. Por
ser v · v =cte, la velocidad mínima será paralela a v. Sea P un punto del eje central y O un cen-
tro de reducción cualquiera, si llamamos (x, y, z) a las componentes del vector OP, de
v =v +v ´OP, tendremos:
o
p
v =(v +w z – w y) i +(v +w x – w z) j +(v +w y – w x) k
z
oy
z
x
y
x
oz
ox
p
y
La condición de paralelismo de dos vectores equivale a la proporcionalidad de sus componen-
tes, con lo que:
v ox +w y z -w z y v oy +w z x -w x z v oz +w x y -w y x
w x = w y = w z
ecuación de una recta; es la ECUACIÓN DEL EJE CENTRAL.
En el caso particular de que se verifique v · v =0, todas las velocidades son perpendiculares a
v, salvo las del eje central que son nulas. El movimiento es una rotación pura con el eje central
como eje instantáneo de giro.
Ahora bien, si v · v ¹0, la velocidad mínima no es nula y el eje central desliza en la direc-
ción de v y en el mismo sentido o en el contrario según que v · v sea positivo a negativo. En
cada instante el movimiento del sólido es HELICOIDAL, deslizando a lo largo del eje y girando a su
alrededor.
Se llama «PASO» (h) a la distancia entre dos puntos homólogos de dos espiras consecutivas; y
equivale al avance del punto, a lo largo del eje, al dar una vuelta completa.
Si el movimiento de rotación y el de deslizamiento a lo largo del eje son uniformes, el movi-
miento helicoidal es de paso constante (Fig. IX-5).
Todo movimiento del sólido rígido es un MOVIMIENTO HELICOIDAL. La complejidad aparente de
muchos movimientos radica en el cambio, en cada instante, del eje de rotación y traslación que, Fig. IX-5.– Movimiento helicoidal de
por este motivo, se llama EJE INSTANTÁNEO. paso constante.