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746 Capítulo 38 La física moderna y el átomo

En forma de ecuación, el segundo postulado de Bohr se escribe

h f = E ¡ - E f
donde hf = energía de un fotón emitido o absorbido
E = energía inicial
l 0
E = energía final
Es preciso regresar al análisis del átomo de hidrógeno para saber si los postulados de
Bohr ayudarán a armonizar la teoría y el espectro observado. Recuérdese que la aplicación
de la ley de Coulomb y la ley de Newton resultaron en la ecuación (38.18) para el radio r de
la órbita del electrón.
1 e2
47re0 mv2

De acuerdo a la teoría de Bohr,
nh
mvr = —
2tt
Si se resuelven estas dos ecuaciones en forma simultánea para obtener el radio r y la veloci­
dad vqueda
> £oh-
(38.23)
TTme2

v = (38.24)
aEqTih
Estas ecuaciones predicen los radios y las velocidades posibles para el electrón, donde n =
1,2,3,...
A continuación se deduce una expresión para la energía total del átomo de hidrógeno para
cualquier órbita del electrón.
Et = E k + EP

La energía cinética se determina sustituyendo en la ecuación (38.24),
1 , me4
Ek = = ,, , (38.25)
2 855 nrhr
La energía potencial del átomo para cualquier órbita es
— 1 e2 me4
(38.26)
47re0 r 4eln2h2
después de sustituir r en la ecuación (38.23). La energía potencial es negativa debido a que
es necesario trabajo exterior para extraer el electrón del átomo. Si se suman las ecuaciones
(38.25) y (38.26) se determina que la energía total es

me 4
ET = -----(38.27)
T 8e20n2h2
Regresando al segundo postulado de Bohr, ahora es posible predecir la energía de un
fotón emitido o absorbido. Normalmente, el electrón está en su estado fundamental, corres­
pondiente a n = 1. Si el átomo absorbe un fotón, el electrón puede saltar hacia alguna de las
órbitas exteriores. A partir del estado excitado regresará nuevamente a una órbita interior más
baja y emitirá un fotón en el proceso.
Suponga un electrón que se encuentra en una órbita exterior de número cuántico n y que
luego regresa a una órbita más baja de número cuántico nf La disminución de energía debe
ser igual a la energía del fotón emitido.
E¡ — Ef = hf