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PROPAGACIÓN DE LA LUZ, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN 575

En efecto: llamando b al vector unitario normal al plano de incidencia y dirigido hacia afuera
del plano de la Fig. XXIV-12 y multiplicando vectorialmente la ecuación (3) por h, obtenemos:
u ´h +u¢´h =0 Þ sen eb – sen e¢b =0 Þ sen e =sen e¢ Þ e =e¢ c.q.d.
PROBLEMAS:2 al 6.
4ª. «Cuando un rayo luminoso se refracta en la superficie de separación de dos medios, el
rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el rayo refractado están
en un mismo plano, que es el de incidencia».
En efecto: Sea A un punto situado en un medio homogéneo de índice de refracción n y otro B
situado en otro medio homogéneo de índice de refracción n¢; ambos medios se encuentran sepa-
rados por una superficie S (Fig. XXIV-13); procediendo analíticamente de la misma forma que lo
hemos hecho para la reflexión, resulta:

C =ns +n¢s¢=nu · s +n¢u¢· s¢ Þ dC =ndu · s +nu · ds +n¢du¢· s¢+n¢du¢· s¢+n¢u¢· ds¢ Fig. XXIV-13.– Refracción de la luz.
y como: du · s =du¢· s¢=0 Ù ds =ds¢
y la condición de camino óptico mínimo, tendremos:
dC =(nu +n¢u¢) · ds =0 Þ nu +n¢u¢=bh (b Î R) (4)
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en consecuencia: el rayo incidente que tiene la dirección y sentido de u, el rayo refractado con di-
rección y sentido –u¢y el vector unitario normal a la superficie de separación de ambos medios en
el punto de incidencia h, son coplanarios; quedando así demostrado el teorema.
5ª. «La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y los de refracción es una can-
tidad constante, igual al cociente entre el índice de refracción del segundo medio y el índice
de refracción del primero» (LEY DE SNELL).
sen e n ¢ =cte n n
=
sen e¢ n Û sen e = ¢ sen e¢
En efecto: utilizando b, definido para la reflexión y multiplicando vectorialmente (4) por h, ob-
tenemos:
nu ´h +n¢u¢´h =0 Þ n seneb – n¢sene¢b =0 Þ n sene =n¢sene¢ c.q.d.

6.ª «Si un rayo de luz va de un punto a otro siguiendo una trayectoria, puede ir del segun-
do al primero recorriendo el mismo camino en sentido inverso» (LEY DE REVERSIBILIDAD DE
RAYOS).
La demostración es inmediata, puesto que si la luz siguiera el camino en el sentido inverso BA
a como lo hemos tomado en la reflexión y en la refracción, el camino óptico mínimo seguiría co-
rrespondiendo al mismo trayecto.
PROBLEMAS:7 al 9.

XXIV – 6. Construcción geométrica del rayo refractado

Sea CD (Fig. XXIV-14) la superficie de separación de dos medios de índices de refracción n y
n¢, IS es el rayo incidente. Se trata de trazar el rayo refractado conocidos n, n¢y la dirección de in-
cidencia.
Con centro en S y con radios SA y SA¢, respectivamente iguales a n y n¢, se trazan dos circun- Fig. XXIV-14.– Construcción geomé-
ferencias. Por el punto P (intersección de la prolongación del rayo incidente y la circunferencia de trica de Huyghens del rayo refracta-
radio n), se traza una paralela a la normal NM. El punto en que esta recta N¢M¢corta a la circun- do.
ferencia de radio n¢(punto P¢) unido con S, determina el rayo refractado SR.
·
En efecto: el ángulo de incidencia e es igual al SPS ¢ por correspondientes; su seno es (triángu-
lo SPS¢): sen e =SS¢/SP. El ángulo e¢(que queremos demostrar es el de refracción) es igual a
·
SP S por alternos internos; su seno es (triángulo SP¢S¢): sen e¢=SS¢/SP¢. El cociente de los dos
¢¢
senos es:
sen e SP ¢ n ¢ n n
=
sen e¢ SP = n Þ sen e= ¢ sen e¢
Por cumplirse las leyes de la refracción, SR es el rayo refractado.

XXIV – 7. Ángulo límite y reflexión total. Aplicaciones
ÁNGULO LÍMITE es el ángulo de incidencia que corresponde a uno de refracción de 90º.
Al rayo A (normal) (Fig. XXIV-15) corresponde el refractado A¢(normal); al B el B¢, apartado
de la normal más que el incidente; a C el C¢rasante a la superficie. El ángulo de incidencia l, al Fig. XXIV-15.– Ángulo límite y refle-
·
que corresponde el refractado ASC ¢ =90 º , es el ángulo límite. xión total.
¢