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574 ÓPTICA GEOMÉTRICA I
4. La ley de los ángulos en la reflexión.
5. La ley de Snell.
6. La conservación del plano de incidencia en la reflexión y en la refracción.
Otra forma es: considerar la existencia del rayo de luz como un límite y tener en cuenta la na-
turaleza ondulatoria de la luz, adoptando como hipótesis fundamental el principio de Huygens, del
que se deducen las leyes de la reflexión y la refracción, como ya vimos en el capítulo XVII.
Nosotros ignoraremos, por ahora, la naturaleza ondulatoria de la luz, y vamos a edificar la Óp-
tica Geométrica partiendo del PRINCIPIO DE FERMAT y describiéndola en base a una geometría pura;
de esta manera resultan como teoremas las hipótesis formuladas al principio.
EL PRINCIPIO DE FERMAT O HIPÓTESIS DEL TIEMPO MÍNIMO dice: «cuando la luz va de un punto a
otro lo realiza en una trayectoria tal, que el tiempo empleado es mínimo» .
De la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, del principio de Fermat y considerando
la (2), deducimos de forma inmediata que:
«La trayectoria real seguida por la luz es aquella que hace mínimo el camino óptico».
XXIV 5. Consecuencias del Principio de Fermat. Leyes de la reflexión y de la
refracción
1.ª «En un medio homogéneo los rayos de luz se propagan en línea recta».
En efecto: si el medio es homogéneo el índice de refracción será el mismo en todos sus puntos,
el camino óptico entre dos puntos cualesquiera A y B será:
B B
C = ò nds =n A ò = (n s B - )s A = ns AB
ds
A
y será mínimo cuando lo sea la trayectoria geométrica entre A y B (s ), correspondiéndole un seg-
AB
mento de recta, como queríamos demostrar.
Consecuencia inmediata y comprobación experimental de la propagación rectilínea de la luz es
la formación de sombra al colocar un cuerpo opaco en las proximidades de un objeto luminoso. Si
éste es un punto (Fig. XXIV-10) y los bordes del objeto no son afilados, los contornos de la som-
bra, son netos. Si el foco es extenso (Fig. XXIV-11) los conos de la sombra, producidos por cada
Fig. XXIV-10. Formación de sombra uno de sus puntos, coinciden en su región central (sombra), no coincidiendo en su parte lateral
con un foco puntual. (penumbra) que está iluminada por parte de los puntos del cuerpo luminoso. La penumbra es
cada vez más luminosa conforme se aleja de la región de la sombra.
PROBLEMA:1.
2.ª Cuando un rayo de luz se refleja en una superficie, el rayo incidente, la normal a la su-
perficie reflectora en el punto de incidencia y el rayo reflejado están en un mismo plano,
que es el de incidencia. MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
En efecto: sean dos puntos cualesquiera A y B situados en el mismo medio homogéneo de ín-
dice de refracción n. Un rayo de luz va de A a una superficie reflectante y llega a B (Fig. XXIV-12);
llamando u y u¢a los vectores unitarios en las direcciones de los rayos incidentes s y reflejado s¢, el
camino óptico es:
C =n (s +s¢) =n (u · s +u¢· s¢)
cuya diferencial es: dC =n (u · ds +du · s +u¢· ds¢+du¢· s¢)
Fig. XXIV-11. Sombra y penumbra
producidas por un foco extenso. du y du¢, serán perpendiculares a u y u¢respectivamente, puesto que estos últimos son unitarios,
y por tanto du · s =du¢· s¢=0; si además tenemos en cuenta que ds =ds¢, la anterior nos
queda:
dC =n (u +u¢) · ds
para que el campo óptico sea mínimo tendrá que verificarse: dC =0, lo cual será cierto cuando
u +u¢y ds sean perpendiculares; llamando h al vector unitario con la dirección perpendicular a la
superficie reflectante en el punto de incidencia del rayo luminoso, y teniendo en cuenta que ds es
tangente a esta superficie en dicho punto, u +u¢y h tienen la misma dirección, y por tanto pode-
mos escribir:
u +u¢=ah (a Î R) (3)
para que esto se verifique u, u¢y h tienen que ser coplanarios, o lo que es lo mismo: el rayo inci-
dente que tiene la dirección y sentido de u, el rayo reflejado con dirección y sentido u¢y el vector
unitario normal a la superficie reflectora en el punto de incidencia h, están en el mismo plano;
como se quería demostrar.
3.ª «Los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales».
e = e¢
Fig. XXIV-12. Reflexión de la luz.
