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556 ECUACIONES DE MAXWELL. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

¶E x =0 (24) ¶H z ¶E y (25) ¶H y ¶E z (26)
¶t - ¶x e = ¶t ¶x e = ¶t

consecuencia de (20) y (21) es que H es constante en el tiempo y en el espacio y las (19) y (24)
x
nos dicen lo mismo para E ; siendo nulos los campos eléctrico y magnético antes de la llegada de
x
la onda, seguirán siendo nulos en todo instante, con lo que:
(27) E =0 H x =0 (28)
x
quedando demostrado que E y H son perpendiculares a la dirección de propagación y por tanto
las ondas electromagnéticas son transversales.
Las ecuaciones (22) o (26) nos permiten encontrar una relación entre H y E . En efecto, sea:
y
z
¶ E z
E = E oz sen k x -( ct) Þ = kE oz cos k x -( ct)
z
¶ x
¶ H
según (22) se obtiene: kE oz cos k x( - ct) =m y
t ¶
1
integrando: H =- E oz sen k x -( ct)
y
c m
la constante de integración no la hemos puesto ya que es nula por no existir campo antes de la lle-
gada de la onda; y por tanto nos queda:
e
H =- E z (29)
y
m
podríamos haber obtenido lo mismo a partir de (26).
e
De una forma análoga, de las ecuaciones (23) o (25) resulta: H = E y (30)
z
m
teniendo en cuenta estas dos últimas junto con (27) y (28) se deduce:

EH? = EH x +E H y +E H z =0
z
x
y
quedando demostrado que el campo eléctrico y el magnético son perpendiculares.
I
F e e e
G
Además: S = E ´ H =(EH z -H E z i ) = m E y 2 + m E z 2 J K i = m E 2 i
H
y
y
lo que nos demuestra que el vector de Poynting tiene la dirección del eje de propagación; resultado
que cabía esperar dado el significado físico de éste (Fig. XXIII-2). MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Al elevar al cuadrado las ecuaciones (29) y (30) y sumarlas se obtiene:
2
2
H + H 2 z = e E ( 2 y + E ) Þ H 2 = e E 2 Þ H = e E (31)
y
z
m m m
Fig. XXIII-2.– El campo eléctrico y el de la que deducimos que las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético difieren en una cons-
magnético son perpendiculares, el tante, luego: «Los campos eléctrico y magnético están en fase, es decir que toman valores extremos
vector del Poynting es a su vez per- y nulos al mismo tiempo».
pendicular a ambos.
2
De la (31) deducimos: H = e E 2 Û mHH? = eE E? Û 1 H B? = 1 E D?
m 2 2
quedando demostrado que en todo instante y en cada punto, la densidad de energía magnética es
igual a la densidad de energía eléctrica.
B e E 1
También de la (31), se deduce: = E Þ = = c
m m B m e

con lo que queda demostrado: «En cualquier instante, la relación entre los módulos del campo
eléctrico y la inducción magnética, de una onda electromagnética, es igual a la velocidad de la luz».
Una onda electromagnética plana sinusoidal, que se propaga en el sentido positivo del eje de
las X con la condición de que el campo eléctrico tome la dirección del eje de las Y y elegido con-
venientemente el origen de tiempos y de los ejes se representa como en la Fig. XXIII-1.
Todas las conclusiones que hemos obtenido, para una onda electromagnética plana para el
caso de propagarse en la dirección de un eje determinado, son generales, ya que la elección de los
ejes XYZ es cuestión de conveniencia.