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560 ECUACIONES DE MAXWELL. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

(38), k debe entenderse como el cuadrado de un número complejo, y no como el cuadrado de su
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módulo.
Si separamos k en sus partes real e imaginaria tendremos una expresión del tipo:
k =k +ik i
r
(
e
y el vector campo eléctrico tendrá la forma: E = E e ik r + ik i ) x - tw = E e -kx ik x( r - t)w
i
0
0
(con una amplitud análoga para el campo magnético), que es la expresión de una onda que se
propaga amortiguándose exponencialmente, tanto más rápidamente cuanto mayor es k (fig.
i
XXIII-7); por tanto, la parte imaginaria de k describe la absorción de la onda en el medio. El inver-
so de k es la distancia en la que la amplitud de la onda disminuye en un factor e, se denomina
i
PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN d =1/k . i
Fig. XXIII-7.– En un conductor, la Su expresión la podemos obtener fácilmente en el caso de que la densidad de corriente sea
OEM se amortigua exponencialmente, mucho mayor que la de desplazamiento, lo que ocurre generalmente en los metales hasta frecuen-
y si es k ¹0 los campos E y H están cias ópticas. En este caso, al sustituir (37) en (36) resulta:
i
desfasados.
s E s mw
-ikH = Es Þ k =i =i Þ k 2 =ismw
H k
Separamos las partes real imaginaria de la forma siguiente:
2
2
r
(k + ik i ) = (k r 2 k - i 2 ) +2 ik k i Þ k - k i 2 =0 Þ k = k = smw
r
i
r
r
2k r k =smw 2
i
1 2
La profundidad de penetración se expresa, en este caso: d = =
k i smw
y disminuye conforme aumentan la conductividad o la permeabilidad del medio, o la frecuencia
–1
–1
de la onda. Por ejemplo, para el cobre (s =6 ´10 W m ) y para frecuencias de 10 14 Hz (infra-
7
–9
rrojo), con m =m se obtiene d =6,5 ´10 m =65 Å. La onda penetra en el cobre solamente
0
unas pocas capas de átomos en las que es absorbida por el metal, que disipa la energía electro-
magnética, por medio de corrientes de conducción, en forma de calor. Para una frecuencia de
60 Hz la profundidad de penetración es de aproximadamente 8 mm.
Cuando en un conductor cilíndrico se establece una corriente alterna, en su interior la densi-
dad de corriente tiene la misma distribución que el campo eléctrico, con lo que su amplitud decre-
ce exponencialmente a partir de la superficie del conductor. Este efecto, conocido como EFECTO DE
PIEL, es el responsable de que las corrientes de alta frecuencia no se establezcan en todo el volu-
men de un conductor, sino que se localicen en una delgada película superficial, aumentando con
ello la resistencia eléctrica del material conforme aumenta la frecuencia.
XXIII – 11. Ecuación de dispersión en función de la densidad de electrones MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Vamos a desarrollar la expresión (38) de la ecuación de dispersión en función de las caracterís-
ticas del movimiento de los electrones en el material y de su número por unidad de volumen. Para
ello suponemos el material constituido por N iones positivos por unidad de volumen, fijos, de car-
ga +e, y N electrones, de carga –e y masa m, capaces de desplazarse de su posición de equilibrio
estable y atraídos hacia ella por una fuerza recuperadora F =-mw 2 0 r. Consideramos que, en su
1
movimiento, los electrones experimentan una fuerza resistiva proporciona a la velocidad
F =–Rv. El medio es lineal, homogéneo e isótropo, y supondremos e =e y m =m .
2
0
0
Cuando en este medio se propaga una onda electromagnética caracterizada por las expresio-
nes (37), la ecuación de movimiento de un electrón en la dirección del campo eléctrico es:
2
d r
m =- eE - Rv - 2 r
mw
dt 2 0
2
d r R dr e
que podemos poner en la forma: + +w 2 r = - E (39)
dt 2 m dt 0 m
Esta expresión es idéntica a la (9) del párrafo VII-29 (vibraciones forzadas), su solución es, por
tanto: r =r e – i w t , escrita en forma exponencial compleja. Sustituyendo dicha solución en (39) te-
0
nemos:
dr i r
dt =-w R e e 1
Þ -w 2 r - iw r +w 0 2 r = - E Þ r = E
iR m
d r 2 r m m m w 2 -w 0 2 + w /
2
dt 2 =- w