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256 ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE FLUIDOS

grad p =0 Þ grad V =0 Þ V =cte
es decir: «En un fluido en equilibrio bajo la acción de un campo de fuerzas derivado de un poten-
cial las superficies isobaras son también superficies equipotenciales». Es inmediato que al ser iso-
bara la superficie libre de un líquido, será también equipotencial. En consecuencia, para grandes
extensiones de líquido y en, campo gravitacional, las isobaras son superficies esféricas (forma que
adopta la superficie libre de los mares).
Teniendo en cuenta las propiedades del vector gradiente, y multiplicando escalarmente por dr
la expresión anterior, obtenemos:

grad p d? r + r grad V d? r =0 Þ dp +r dV =0 Þ dp = -r dV (4)

De esta expresión obtenemos: r =– dp/dV, es decir, si V es constante, la densidad también lo
es: «Las superficies equipotenciales son también isopícricas».

XII – 9. Teorema fundamental de la hidrostática (líquidos en reposo en el campo
gravitatorio)
«La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en reposo, bajo la acción de la gra-
vedad, es igual al peso de una columna líquida que tiene por base la unidad de superficie y
por altura la diferencia de alturas de los puntos».
En efecto: si el fluido se encuentra sometido únicamente a la acción de las fuerzas gravitacio-
nales: f =–gk, y sustituyendo en (3):

p
1
¶
-gk = G F p¶ i + ¶ p j + J I K
k
r H x¶ ¶ y z ¶
en la que ¶p/dx =¶p/¶y =0, ya que la presión no varía con x o y, es la misma en un plano hori-
zontal. Podemos por tanto escribir la expresión anterior con derivadas totales de la forma:
1 dp
-g = Þ dp = - g dzr
r dz
e integrando entre los puntos A y B (Fig. XII-13) separados una distancia vertical h:
z z A

p - p B = -r g dz =r g z( B z - ) = r g h- ( h-) r g h=( A h -)
A
B
B
A
A
z B
y en definitiva:
p - p B =r gh MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
A
Fig. XII-13.– Teorema fundamental ecuación que expresa el teorema enunciado.
de la hidrostática. De una forma elemental podríamos demostrar este teorema de la siguiente forma: Demostrare-
mos primero que se cumple el teorema para puntos situados en la misma vertical (Fig. XII-14).
Consideremos en el seno de un líquido un cilindro, de eje vertical y de base unidad, del mismo lí-
quido parcialmente solidificado; es decir, conservando sus propiedades, pero separado idealmente
del resto del líquido. Las fuerzas que actúan sobre tal cilindro son: fuerzas sobre la superficie late-
ral, que se anulan por simetría; las fuerzas originadas por las presiones sobre las bases, cuyos mó-
dulos son iguales al valor de las presiones por ser las bases de área unidad, y por último, el peso
—P— del cilindro. Para que éste permanezca en equilibrio es necesario que la suma de las fuerzas
hacia abajo, sea igual a la fuerza hacia arriba:

P +p =p A Þ p – p = P
B
B
A
que es lo que se pretendía demostrar. Esta condición se cumple igualmente para los líquidos en
equilibrio relativo.
Como consecuencia de lo anterior, probemos la siguiente afirmación: «Dentro de un líquido en
equilibrio y en todos los puntos de una superficie horizontal hay la misma presión» (esto no se
cumple en general para líquidos en equilibrio relativo). Sean los puntos A y A¢y consideremos
otros dos B y B¢situados en la superficie del líquido y en las respectivas verticales de los primeros.
El peso —P— de las columnas representadas en la figura XII-15 es el mismo por tener la misma
base y altura y estar formadas por el mismo líquido. Como: p – p =P y p – p =P,y
B
A
B¢
A¢
además: p =p , por ser ambas presiones las que ejerce la atmósfera, obtenemos:
B
B¢
Fig. XII-14.– Para demostrar que el
teorema fundamental de la hidrostá- p = p A¢
A
tica se cumple para puntos situados
en la misma vertical. que es lo que se quería demostrar.