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258 ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE FLUIDOS
z hdA
h = A A Þ z A hdA = h A
G
G
que sustituida en (6) nos da la expresión (5) que pretendíamos de-
mostrar.
De la Fig. XII-18 deducimos que:
h =y sen q Þ F =rgy A sen q
G
G
G
en la que y es la distancia del CG de área al eje OX determinado
G
por la intersección del plano del área A y la superficie libre del lí-
quido. En el caso en que la pared sea vertical entonces h = y G
G
(Fig. XII-19).
Considerando vasijas del mismo fondo horizontal, de distinta
forma y llenas del mismo líquido a igual altura (Fig. XII-20), la
aplicación de la fórmula (5) nos determina que la fuerza sobre el
Fig. XII-18. Fuerza ejercida por un líquido en una pared plana. Centro fondo es la misma; hecho que se conoce con el nombre de PARA-
de empuje o de presiones.
DOJA HIDROSTÁTICA.
PROBLEMAS:27 al 30.
XII 11. Centro de empuje o presiones en una pared plana
Las fuerzas originadas por las presiones, en los distintos puntos de una pared, son mayores
conforme los puntos considerados son más profundos (Fig. XII-21). Al punto de aplicación de la
resultante total de todas ellas lo llamaremos CENTRO DE EMPUJE o CENTRO DE PRESIONES y la distancia
de éste a la superficie libre del líquido la designaremos por h (Fig. XII-18).
E
Supongamos una compuerta de forma cualquiera, en la pared de un embalse. La fuerza ele-
mental que actúa sobre una superficie dA comprendida entre dos paralelas al eje OX determinada
por el plano de la compuerta con la superficie libre, es:
dF =rg hdA =rgysenq dA
perpendicular al área A, en la que h es la distancia de dA a la superficie libre del líquido e y la dis-
tancia de tal área al eje OX.
El momento de esta fuerza con respecto al eje X es en módulo:
2
dN =ydF =rgy senq dA
Fig. XII-19. Centro de empuje o de luego el momento de la fuerza total que actúa sobre el área A con respecto al eje OX, será:
presiones en una pared plana y ver-
tical. z z
N = r sen q A y 2 dA =r g I senq I = y 2 dA
g
A
I es, por tanto, el MOMENTO DE INERCIA DEL ÁREA A de la pared con respecto al eje OX, que se deter- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
mina de la misma forma que el momento de inercia para sólidos (párrafo X-6), aplicando las fór-
mulas generales de éstas y sin más que sustituir masas por superficies.
Como la fuerza total, como ya hemos demostrado, es: F =r gh A =r gy A sen q, el momen-
G
G
to obtenido también lo podremos escribir: N =h F, que junto con que h =y sen q, e igualando
E
E
E
nos queda:
I I
Fig. XII-20. Paradoja hidrostática. rgI sen = rgy y A sen q Þ y = Û h = sen 2 q
q
E
GE
E
Ay G Ah G
que por la aplicación del teorema de Steiner la podremos escribir:
I + Ay 2 I
y = G G Þ y = G + y G
E
E
Ay G Ay G
si la pared (o compuerta) está vertical en el embalse entonces h coincide con y (Fig. XII-19) y h G
E
E
con y .
G
Obsérvese que el centro de empuje está siempre por debajo del centro de gravedad de área ya
que I es siempre positivo.
G
PROBLEMAS: 31 al 39.
XII 12. Teorema de Pascal
Blaise Pascal (1623-1662), enunció para los líquidos incompresibles lo que se llamó el Princi-
Fig. XII-21. Fuerza contra una pa- pio de Pascal, ya que fue enunciado de forma empírica; actualmente es un demostrable por lo que
red debida a la presión hidrostática. constituye un teorema que se enuncia:
