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HIDROSTÁTICA 255

XII – 8. Ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos
Consideremos un volumen elemental dt en el interior de un fluido en equilibrio, que tenga for-
ma de paralelepípedo rectángulo de aristas dx, dy y dz (Fig. XII-12) entonces:
dt =dx dy dz
si p =p (x, y, z) es la presión (función de punto) que el fluido ejerce sobre el punto M (x, y, z)si-
tuado en el centro del paralelepípedo, entonces la fuerza debida a la presión sobre la cara anterior
del dibujo será:
dF =-G F H p + ¶ ¶ p dxI J dy dz i
x 2 K
1
y sobre la cara posterior:
dF =G F H p - ¶ p dxI J dy dz i
x 2 K
2
¶
Fig. XII-12.– Volumen elemental en
luego la componente de las fuerzas de presión según el eje OX vale: el interior de un fluido.
¶ p ¶ p
d F = d F + d F 2 =- dx dy dz i =- d i t
1
x
¶ x ¶ x
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De la misma forma se obtendrá:
¶ p ¶ p
t
dF =- d j t dF z =- d k
y
¶ y z ¶
luego la fuerza debida a la presión que actúa sobre el paralelepípedo resulta:
d F =-G p F ¶ i + ¶ p j + ¶ p I d =- t grad p (2)
kJ
d
t
x H ¶ ¶ y ¶ z K
Llamando r a la densidad del líquido y dM a la masa del paralelepípedo; como:
dM dM
r = Û d t =
t d r
que sustituida en (2) nos queda:
dM
dF =- grad p
r
como el fluido lo hemos considerado en equilibrio, la suma de las fuerzas de presión y las fuerzas
exteriores debe ser nula. Considerando, en general, que el fluido se encuentra en un campo de
fuerzas de intensidad f (fuerza por unidad de masa), es decir: f =dF/dM el valor de las fuerzas ex-
ternas será f dM y se obtiene:

dM 1
f dM + d F =0 Þ f dM - grad p =0 Þ f = grad p (3)
r r
que es la ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS.
Multiplicando escalarmente ambos miembros de la ecuación anterior por dr =dx i +dy j +dz k
y teniendo en cuenta que dr · grad p =dp, en la que dp es la diferencia de presiones entre dos
puntos del fluido sometido al campo de fuerzas de intensidad f y que distan entre sí dr, deducimos
que:

dp = r f ? dr
que es otra forma de expresar la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
Para integrar la ecuación anterior tendremos que conocer en cada caso: f =f (x, y, z). Aunque
la presión, en general, dependerá de la posición del punto [(p =p (x, y, z)], hay superficies de
puntos de igual presión: ISOBARAS; para obtener la familia de superficies isobaras correspondientes
a cada caso, y en las que dp =0, habrá que integrar la ecuación:

f ? d =0
r
Si el campo de fuerzas a que está sometido el fluido es el gravitatorio, la fuerza (peso) resulta:
F =– grad U y como: g =F/M =– grad V es decir: dicho campo deriva de un potencial V, como
ya vimos en el capítulo XI; sustituyendo en (3) nos queda:
grad p +r grad V =0

Si hacemos p =cte, se tiene: