Page 506 - Física Tippens: Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición Revisada

24.4 Ley de Gauss 487

Partiendo de la forma en que se trazan las líneas del campo también podemos decir que el
campo en una pequeña porción de su área AA es proporcional al número de líneas AN que
penetran en esa área. En otras palabras, la densidad de líneas del campo (líneas por unidad de
área) es directamente proporcional a la intensidad del campo. Simbólicamente,
AN
oc En (24.10)

El subíndice n indica que el campo es normal al área superficial en todas partes. Esta proporcio­
nalidad siempre es válida, independientemente del número total de líneas N que se pueden trazar.
Sin embargo, una vez que se elige una constante de proporcionalidad para la ecuación (24-10),
se establece automáticamente un límite para el número de líneas que pueden trazarse en cada si­
tuación. Se ha encontrado que la elección más conveniente para esta constante de espaciamiento
es e . Esto se conoce como permitividad del espacio libre y se define mediante la expresión

e0 = = 8.85 X 10” 12 C2/(N • m2) (24.11)
47TK

donde k = 9 X 109 N • m2/C2 de la ley de Coulomb. Entonces, la ecuación (24.10) puede
escribirse como
AN
— = e0En (24.12)

o bien
AN = €qE„AA (24.13)
Cuando En es constante por toda la superficie, el número total de líneas que se dirigen radial­
mente hacia fuera de la carga encerrada es
N = e0EnA (24.14)
Se puede notar que la elección de eQ es conveniente sustituyendo la ecuación (24.11) en
la ecuación (24.9):
1 q
E„ = 2
4-77-eo r
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (24.14) y recordando que el área de una superficie
esférica es A = 4ttr1 se obtiene
N = e0 EnA
60 9 ,A _
-(477r-) = q
477e0 rL
La elección de eQ como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número
total de líneas que pasan normalmente a través de una superficie es numéricamente igual a
la carga contenida dentro de la superficie. Aunque este resultado se obtuvo usando una su­
perficie esférica, se aplicará a cualquier otra superficie. El planteamiento más general de ese
resultado se conoce como ley de Gauss:

El número total de líneas de fuerza eléctricas que cruzan cualquier superficie
cerrada en dirección hacia fuera es numéricamente igual a la carga neta total
contenida dentro de esa superficie.

N = ^ e0EnA —^ q Ley de Gauss (24-15)

La ley de Gauss se utiliza para calcular la intensidad del campo cerca de las superficies de car­
ga. Esto representa una clara ventaja sobre los métodos desarrollados anteriormente debido a
que las ecuaciones anteriores se aplican sólo a cargas puntuales. La mejor forma de entender
la aplicación de la ley de Gauss es mediante ejemplos.